Baza pytań

To zdanie mówi, że jeden zbiór mieści się w drugim — tak jak każdy pies jest zwierzęciem, ale nie każde zwierzę psem. Wynikają z niego dokładnie dwie rzeczy i warto znać obie. Pierwsza: kto nie umie obsługiwać komputera, ten nie jest programistą — to kontrapozycja i jest zawsze poprawna. Druga: część osób obsługujących komputer to programiści, o ile programiści w ogóle istnieją. Nie wynika natomiast nic o tym, jaka to część; tę trzeba ocenić osobno, a tutaj przesądza różnica rzędów wielkości — komputer obsługują miliardy ludzi, programistów są miliony. Za tym błędem stoi po części sam język: słowo „jest" wyraża i przynależność do kategorii („pies jest zwierzęciem"), i tożsamość („to jest Kasia"), a te dwie rzeczy odwracają się zupełnie inaczej. Dlatego to samo zdanie o miliarderach („wszyscy ciężko pracowali") brzmi w mediach jak obietnica, że ciężka praca czyni miliarderem.

Każdy, kto umie obsługiwać komputer, jest programistą.
Zdanie zostało odwrócone. Programiści mieszczą się w osobach obsługujących komputer, a nie na odwrót — wystarczy jeden kontrprzykład: księgowa obsługuje komputer i nie jest programistką.

Są osoby, które umieją obsługiwać komputer i są programistami.
To właśnie wynika z przesłanki: skoro programiści obsługują komputer, to część osób obsługujących komputer to programiści. Zdanie nie mówi, jak duża to część — i dobrze.

Osoba, która nie radzi sobie z komputerem, nie pracuje jako programista.
Skoro każdy programista to umie, to ktoś, kto nie umie, nie może być programistą. Takie przekształcenie jest zawsze poprawne.

Z przesłanek nie wynika, czy wszyscy programiści z tej firmy umieją obsługiwać komputer.
Wynika. Pierwsza przesłanka mówi, że każdy programista umie obsługiwać komputer, a druga, że w firmie pracuje kilku programistów — więc dotyczy to także każdego z nich. Wystarczy zastosować regułę ogólną do konkretnej grupy.

Większość osób, które umieją obsługiwać komputer, to programiści.
Przesłanka nic nie mówi o tym, ilu jest programistów. Komputer obsługują miliardy ludzi, a programistów są miliony — i to przesądza sprawę.

Pierwsza przesłanka mówi, że uczniowie klasy 5a mieszczą się w chórze, a druga, że chórzyści mieszczą się w gronie tych, którzy w piątek chodzą na próbę. To trzy pudełka włożone jedno w drugie: najmniejsze to klasa 5a, środkowe to chór, największe to piątkowa próba. Z takiego układu wynikają dwie rzeczy. Pierwsza to kontrapozycja: kto na próbę nie chodzi, nie śpiewa w chórze, a skoro każdy uczeń 5a w nim śpiewa, ten ktoś nie może być z 5a. Druga to złożenie obu zdań: każdy uczeń 5a chodzi w piątek na próbę, czyli dwudziestu czterech uczniów tej klasy tam jest. Nie wynika natomiast odwrócenie, że każdy, kto chodzi na próbę, jest z 5a. Do chóru mogą należeć dzieci z innych klas i też przychodzić w piątek, a przesłanki ich nie wykluczają. Odwrócenie kusi, bo zdania typu „każdy A robi B" czytamy tak, jakby A i B były jednym i tym samym, a tu A jest tylko częścią B.

Każdy, kto w piątek po lekcjach chodzi na próbę chóru, jest uczniem klasy 5a.
Zdanie jest odwrócone. Uczniowie klasy 5a mieszczą się wśród tych, którzy chodzą na próbę, ale przesłanki nie mówią, że chodzą tam wyłącznie oni. W chórze mogą śpiewać dzieci z innych klas — tak jak „każdy pies jest zwierzęciem" nie daje „każde zwierzę jest psem".

Dziecko, które w piątek nie chodzi na próbę chóru, nie jest uczniem klasy 5a.
To kontrapozycja złożona z dwóch przesłanek. Kto nie chodzi na próbę, nie śpiewa w chórze (druga przesłanka), a kto w chórze nie śpiewa, nie może być z 5a, bo każdy uczeń 5a w nim śpiewa (pierwsza). Idziemy łańcuchem od końca do początku i taki ruch jest zawsze poprawny.

Na piątkowej próbie chóru jest co najmniej dwudziestu czterech uczniów, bo wszyscy uczniowie klasy 5a tam chodzą.
Każdy uczeń klasy 5a śpiewa w chórze (pierwsza przesłanka), a każdy chórzysta chodzi w piątek na próbę (druga). Wszyscy dwudziestu czterech uczniów 5a (trzecia) są więc na próbie. Piszemy „co najmniej", bo na próbie mogą być też dzieci z innych klas — i właśnie tego wniosek nie twierdzi.

Przesłanki nie przesądzają, że w szkolnym chórze śpiewa więcej niż dwadzieścioro dzieci.
Wynika. Pierwsza przesłanka mówi, że każdy z dwudziestu czterech uczniów klasy 5a śpiewa w chórze, więc chórzystów jest co najmniej dwudziestu czterech, a to więcej niż dwadzieścioro. Zdanie brzmi ostrożnie, ale odmawia rachunku, który przesłanki wyznaczają.

W klasie 5a jest przynajmniej jeden uczeń, który nie śpiewa w szkolnym chórze.
Pierwsza przesłanka mówi, że każdy uczeń klasy 5a śpiewa w chórze. Wniosek twierdzi, że ktoś z 5a w nim nie śpiewa, więc przeczy przesłance. To nie jest zbyt śmiały wniosek, tylko fałszywy.

Uczniowie klasy 5a chodzą na piątkowe próby, bo chórem kieruje ich wychowawca.
Przesłanki mówią, kto chodzi na próby, a nie dlaczego. Kto prowadzi chór, nie jest w nich wspomniane ani słowem, więc ten wniosek dodaje przyczynę (kierowanie chórem przez wychowawcę), której nie mamy.

Pierwsza przesłanka mówi, że dzieci chore na ospę mieszczą się w gronie dzieci z wysypką. Wysypka jest więc objawem ospy, a nie jej definicją: kto ma ospę, ten ma wysypkę, ale kto ma wysypkę, nie musi mieć ospy. To odwrócenie, przed którym przestrzega rozdział. Wynika natomiast kilka innych rzeczy. Dziecko, które w tym roku nie miało żadnej wysypki, nie chorowało na ospę — to kontrapozycja. Wysypkę miało w tej klasie przynajmniej sześcioro dzieci, bo tyle jest chorych na ospę, a każde z nich ją miało. Co do Oli: wiemy, że ma wysypkę, ale zbiór dzieci z wysypką jest większy niż zbiór dzieci z ospą i przesłanki nie mówią, czy Ola należy do tego mniejszego. Zdanie „ma wysypkę, więc ma ospę" wygląda jak diagnoza, a jest dopiero jednym z możliwych tropów.

Każde dziecko z klasy 3b, które w tym roku miało wysypkę, zachorowało na ospę.
Zdanie jest odwrócone. Z przesłanki wynika „ospa, więc wysypka", a nie „wysypka, więc ospa". Dzieci z wysypką może być więcej niż dzieci z ospą, bo wysypka może mieć też inne przyczyny, więc sama wysypka, także ta Oli, nie rozstrzyga, co dziecku jest.

W tym roku wysypka pojawiła się w tej klasie co najmniej u tylu dzieci, ile zachorowało na ospę, czyli nie tylko u Oli.
Na ospę zachorowało sześcioro dzieci z 3b i każde z nich miało wysypkę (pierwsza i druga przesłanka). To już co najmniej sześć dzieci z wysypką, więc wysypkę miała nie tylko Ola. Wniosek składa dwie przesłanki i niczego do nich nie dodaje.

Z tego, że Ola ma wysypkę, nie wynika, że w tym roku zachorowała na ospę.
Pierwsza przesłanka działa tylko w jedną stronę: ospa, więc wysypka. Ola ma wysypkę, ale nie wiemy, czy należy do sześciorga chorych na ospę, czy do pozostałych dzieci z wysypką. Wniosek mówi tylko tyle, że sama wysypka tego nie przesądza.

Przesłanki nie przesądzają, że dziecko z 3b, które w tym roku nie miało żadnej wysypki, nie zachorowało na ospę.
Wynika. Skoro każde dziecko chore na ospę miało wysypkę, to dziecko, które w tym roku jej nie miało, nie mogło być chore na ospę — to kontrapozycja i jest zawsze poprawna. „Nie wynika" brzmi ostrożnie, ale tu ostrożność jest nieuzasadniona.

W tym roku na ospę zachorowało w klasie 3b tylko troje dzieci.
Druga przesłanka mówi, że w tym roku na ospę zachorowało w klasie 3b sześcioro dzieci, a nie troje. Wniosek podaje inną liczbę, więc zaprzecza przesłance zamiast ją osłabiać.

Wysypka Oli nie jest ospą, tylko uczuleniem na coś, co zjadła na obiad.
To ten sam błąd w drugą stronę. Przesłanki nie wykluczają, że Ola jest chora na ospę, ani nie podają żadnej innej przyczyny jej wysypki, więc „to nie ospa" jest równie nieuzasadnione jak „to ospa".

Pierwsze zdanie mówi, że jabłka pana Adama mieszczą się wśród jabłek leżących w skrzynkach „Ekstra". Takie skrzynki mogą jednak wypełniać też jabłka z innych sadów, bo napis niczego nie mówi o sadzie, a tylko o pakowaniu. To dokładnie ten układ, w którym „każde A jest B" nie daje „każde B jest A". Z przesłanek wynikają dwie rzeczy. Pierwsza to kontrapozycja: jabłko leżące w skrzynce bez napisu „Ekstra" nie pochodzi z sadu pana Adama, bo wszystkie jego jabłka trafiły do skrzynek z napisem. Druga to osłabione odwrócenie: skoro pan Adam zebrał kilkaset jabłek i wszystkie są w takich skrzynkach, to wśród jabłek z napisem „Ekstra" są jego jabłka. Nie wynika, że wszystkie, ani że akurat te na targu. Skrzynka z targu może być jego, ale przesłanki tego nie przesądzają: napis to cecha opakowania, a nie podpis sadownika.

Jabłka z tej skrzynki „Ekstra" na targu pochodzą z sadu pana Adama.
Zdanie jest odwrócone. Z przesłanki wynika „jabłko Adama, więc skrzynka Ekstra", a nie „skrzynka Ekstra, więc jabłko Adama". Jabłka pana Adama są w takich skrzynkach, ale napis nie mówi, z jakiego sadu są jabłka, więc skrzynka z targu może pochodzić od kogoś innego.

Jabłko, które leży w skrzynce bez napisu „Ekstra", nie pochodzi z sadu pana Adama, bo wszystkie jego jabłka mają ten napis.
To kontrapozycja pierwszej przesłanki. Wszystkie jabłka pana Adama trafiły do skrzynek z napisem „Ekstra", więc jabłko z innej skrzynki nie może być jego. Przejście od braku napisu do braku pochodzenia jest zawsze poprawne.

Wśród jabłek leżących w skrzynkach „Ekstra" są takie, które pochodzą z sadu pana Adama.
To osłabione odwrócenie. Pan Adam zebrał kilkaset jabłek i wszystkie trafiły do skrzynek „Ekstra", więc co najmniej część jabłek z takich skrzynek jest jego. Zdanie nie mówi, jaka to część — i dlatego jest bezpieczne.

Z przesłanek nie wynika, żeby w skrzynkach „Ekstra" leżało więcej niż sto jabłek.
Wynika. Pan Adam zebrał kilkaset jabłek, a wszystkie trafiły do skrzynek z napisem „Ekstra", więc leży w nich więcej niż sto jabłek. Ostrożne „nie wynika" odmawia tu liczby, którą przesłanki wyznaczają. Nie wynika natomiast, że wszystkie jabłka z takich skrzynek są jego — ale to inne zdanie.

Pan Adam zebrał w swoim sadzie w tym roku tylko kilkadziesiąt jabłek.
Druga przesłanka mówi, że pan Adam zebrał kilkaset jabłek, a nie kilkadziesiąt. Wniosek liczy inaczej, więc wprost jej przeczy.

Pan Adam pakuje jabłka do skrzynek „Ekstra", bo jego jabłka są największe i najsłodsze w okolicy.
Przesłanki mówią, gdzie trafiły jabłka pana Adama, a nie jakie są ani dlaczego je tam zapakowano. To, że są największe i najsłodsze, jest dopisane z zewnątrz.

Zdanie „większość chorych jest zaszczepiona" i zdanie „zaszczepieni częściej chorują" to dwie zupełnie różne rzeczy, choć brzmią podobnie. Pierwsze porównuje chorych między sobą, drugie porównuje zaszczepionych z niezaszczepionymi — i żeby je odwrócić, trzeba znać liczebność grup. Tu je znamy: niezaszczepieni to 10% kraju, ale 30% oddziału, czyli są tam trzykrotnie nadreprezentowani. Gdy więc 90% ludzi jest zaszczepionych, większość chorych będzie zaszczepiona nawet przy szczepionce, która działa dobrze. Rachunek robi się na udziałach w grupach, nie na samych liczbach pacjentów.

Zaszczepieni częściej trafiają do szpitala z tą chorobą niż niezaszczepieni.
Trzeba porównać udziały, nie same liczby. Zaszczepionych jest 90% kraju i 70% oddziału, a niezaszczepionych 10% kraju i 30% oddziału — czyli to niezaszczepieni trafiają tam częściej.

Na tym oddziale zaszczepionych pacjentów jest ponad dwa razy więcej niż niezaszczepionych.
Siedemdziesięciu przeciw trzydziestu to ponad dwa razy więcej — tyle i tylko tyle. Zdanie nie mówi nic o tym, czy szczepienie pomaga.

Niezaszczepieni stanowią na tym oddziale większy odsetek pacjentów, niż stanowią w kraju.
Niezaszczepieni to jedna dziesiąta kraju i trzy dziesiąte oddziału — trzykrotnie więcej, niż wynikałoby z ich liczby. To właśnie wynika z tych dwóch zdań.

Z przesłanek nie wynika, ilu pacjentów leży w sumie na tym oddziale.
Wynika: siedemdziesięciu zaszczepionych i trzydziestu niezaszczepionych to razem stu pacjentów. Wystarczy dodać — a dopiero porównanie tych udziałów z udziałami w kraju mówi coś o szczepieniu.

Szczepienie nie ma wpływu na to, czy trafisz na ten oddział.
Te dane sugerują wręcz przeciwnie: wśród chorych niezaszczepieni są trzykrotnie nadreprezentowani wobec swojej liczby w kraju.

Zdanie „większość koszykarzy z klubu jest wysoka" i zdanie „większość wysokich mieszkańców gra w klubie" brzmią podobnie, ale mówią o czym innym. Pierwsze pyta, jacy są członkowie klubu: szesnastu z dwudziestu jest wysokich, czyli 80%. Drugie pyta, ilu wysokich mieszkańców gra w klubie, a tu liczy się inna grupa: wysokich jest sto, nie dwadzieścia, więc szesnastu na stu to 16%. Klub jest mały w porównaniu z liczbą wszystkich wysokich, więc nawet jeśli większość koszykarzy jest wysoka, większość wysokich w ogóle w klubie nie gra. Od stu wysokich mieszkańców trzeba odjąć szesnastu, którzy są w klubie: zostaje 84. Odwrócenie takiego zdania wymaga znajomości wielkości obu grup, a nie tylko tego, jak wygląda jedna z nich.

Mieszkaniec miasteczka, który ma ponad 190 cm wzrostu, najpewniej należy do klubu koszykarskiego.
Zdanie jest odwrócone. W klubie większość osób jest wysoka (16 z 20), ale wysokich mieszkańców jest sto, a w klubie jest ich tylko szesnastu. To 16 na 100, więc wysoki mieszkaniec raczej w klubie nie gra — liczy się wielkość obu grup.

Wśród stu mieszkańców o wzroście ponad 190 cm aż 84 osoby nie należą do klubu koszykarskiego.
Wysokich mieszkańców jest 100, a w klubie jest ich 16 (klub składa się z mieszkańców). Sto minus szesnaście to 84. To jedno odejmowanie z liczb z przesłanek, bez żadnej dodatkowej wiedzy.

Z tego, że większość członków klubu jest wysoka, nie wynika, że większość wysokich mieszkańców w nim gra.
Zdanie o członkach klubu dotyczy dwudziestu osób, a zdanie o wysokich mieszkańcach dotyczy stu. To dwie różne grupy z różnymi liczbami, więc z jednej nie wynika druga. Wniosek odrzuca właśnie to przejście.

Przesłanki nie przesądzają, że w klubie koszykarskim są też osoby, które nie mają ponad 190 cm wzrostu.
Wynika: do klubu należy 20 mieszkańców, a 16 z nich ma ponad 190 cm, więc pozostałych czworo tego wzrostu nie ma. To jedno odejmowanie z liczb z przesłanek, a zdanie ostrożnie odmawia wyniku, który one wyznaczają.

Wśród członków miejskiego klubu koszykarskiego nie ma osoby, która ma więcej niż 190 cm wzrostu.
Trzecia przesłanka mówi, że szesnaścioro członków klubu ma ponad 190 cm. Wniosek twierdzi, że nie ma takiego żadnego, więc przeczy przesłance.

Wysocy mieszkańcy chętniej zapisują się do klubu, bo łatwiej im trafiać do kosza.
Przesłanki podają liczby, a nie powody. Dlaczego akurat tacy ludzie trafiają do klubu, w nich nie ma, więc to zdanie dodaje przyczynę, której nie mamy.

Prawie wszystkie dzieci z anginą miały gorączkę: osiemnaścioro na dwadzieścioro, czyli dziewięć na dziesięć. Z tego nie wynika jednak, że prawie wszystkie dzieci z gorączką mają anginę. Pierwsze zdanie liczy w grupie dwudziestu dzieci, drugie w grupie stu dwudziestu, a to zupełnie inny rachunek. Gorączkę miało 120 dzieci, anginę z nich 18, czyli 15%. Pozostałe 102 mają coś innego. Gorączka jest więc u chorych na anginę prawie zawsze, ale dzieci z gorączką jest sześć razy więcej niż dzieci z anginą, więc sama gorączka niewiele mówi o tym, co dziecku jest. To właśnie odwrócenie zdania o częstości: „gorączka, gdy angina" jest wysokie, a „angina, gdy gorączka" niskie. Oba zdania zaczynają się od „większość", tylko że każde liczy w innej grupie.

Dziecko, które przyszło do przychodni z gorączką, najpewniej ma anginę.
Zdanie jest odwrócone. Prawie wszystkie dzieci z anginą miały gorączkę (18 z 20), ale gorączkę miało aż 120 dzieci, a anginę tylko 18 z nich — to 15%. Pierwsza proporcja liczy się z dwudziestu, druga ze stu dwudziestu.

Większość dzieci z gorączką, które przyszły do przychodni, nie miała anginy.
Gorączkę miało 120 dzieci, a anginę z nich 18 (trzecia przesłanka). Zostaje 102 dzieci z gorączką bez anginy, czyli zdecydowana większość. Wniosek wymaga odjęcia i porównania z połową.

Gorączkę miało co najmniej dziewięć na dziesięć dzieci z anginą, ale anginę tylko trzy na dwadzieścioro dzieci z gorączką.
Wśród dwudziestu dzieci z anginą osiemnaścioro miało gorączkę, czyli dziewięć na dziesięć. Wśród stu dwudziestu dzieci z gorączką anginę miało te same osiemnaścioro, czyli trzy na dwadzieścia (15%). Obie proporcje liczy się z innej grupy, więc jedna nie przenosi się na drugą.

Z przesłanek nie wynika, że dzieci z gorączką było w tym tygodniu w przychodni sześć razy więcej niż dzieci z anginą.
Wynika: pierwsza przesłanka podaje 120 dzieci z gorączką, a druga 20 z anginą, a 120 podzielić na 20 to dokładnie 6. Wystarczy jedno dzielenie na liczbach z przesłanek, a ostrożne „nie wynika" odmawia tu wyniku, który one wyznaczają.

W tym tygodniu do przychodni przyszło mniej niż pięćdziesięcioro dzieci z gorączką.
Pierwsza przesłanka mówi, że do przychodni przyszło 120 dzieci z gorączką. Wniosek podaje znacznie mniejszą liczbę, więc przeczy przesłance.

Anginę miało mniej niż co dwudzieste dziecko z gorączką, które przyszło do przychodni.
Za mocno w drugą stronę. Większość dzieci z gorączką nie miała anginy, ale mniej niż co dwudzieste to mniej niż 6 dzieci ze 120, a anginę miało ich osiemnaścioro, czyli 15%. Przewaga dzieci bez anginy jest wyraźna, lecz nie aż tak duża.

Prawie wszystkie e-maile oszustów miały literówki: osiemnaście z dwudziestu, czyli dziewięć na dziesięć. Z tego nie wynika jednak, że e-mail z literówką pochodzi od oszusta. Literówki ma 200 e-maili, a oszuści stoją za osiemnastoma z nich, czyli za dziewięcioma na sto. Pozostałe 182 napisali zwykli ludzie, którzy też czasem mylą się na klawiaturze. Pierwsze zdanie liczy w grupie oszustów, drugie w grupie e-maili z literówkami, a to dwie różne grupy o różnej wielkości. Literówki są więc dla oszustów typowe, ale dla całej poczty nie są dobrym alarmem: na jeden fałszywy e-mail z literówką przypada ponad dziesięć zwykłych. To odwrócenie zdania o częstości: „literówki, gdy oszust" jest wysokie, a „oszust, gdy literówki" niskie.

E-mail z literówką, który przyszedł do szkoły, najpewniej jest od oszusta.
Zdanie jest odwrócone. Prawie wszystkie e-maile oszustów miały literówki (18 z 20), ale e-maili z literówkami jest 200, a oszuści napisali tylko 18 z nich. Pierwsza proporcja liczy się w grupie 20, druga w grupie 200.

Ponad 180 e-maili z literówkami, które przyszły do szkoły, nie było od oszustów.
E-maili z literówkami jest 200, a 18 z nich napisali oszuści (druga i trzecia przesłanka). Zostaje 182, czyli ponad 180. To jedno odejmowanie z liczb z przesłanek.

Literówki ma dziewięć na dziesięć e-maili oszustów, ale oszuści napisali tylko dziewięć na sto e-maili z literówkami.
Wśród 20 e-maili oszustów 18 miało literówki, czyli dziewięć na dziesięć. Wśród 200 e-maili z literówkami oszuści napisali te same 18, czyli dziewięć na sto. Obie proporcje liczy się z innej grupy, więc jedna nie przenosi się na drugą.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że oszuści napisali do szkoły w tym roku e-maile bez literówek.
Wynika: oszuści napisali 20 e-maili, a literówki miało 18, więc dwa e-maile były bez nich. Ostrożne „nie ma niczego" odmawia tu wyniku jednego odejmowania na liczbach z przesłanek.

W tym roku do szkolnych skrzynek przyszło tylko pięć e-maili od oszustów, którzy chcieli wyłudzić hasła.
Pierwsza przesłanka mówi, że od oszustów przyszło 20 e-maili, a nie pięć. Wniosek podaje inną liczbę, więc przeczy przesłance.

Oszuści robią literówki celowo, żeby szkolny filtr poczty nie rozpoznał ich e-maili jako podejrzanych.
Przesłanki mówią, ile e-maili ma literówki, a nie dlaczego oszuści je robią. Powód, który ten wniosek podaje, jest dopisany z zewnątrz.

Warunek konieczny to taki, bez którego się nie da. Warunek wystarczający to taki, przy którym się udaje. To dwie zupełnie różne rzeczy, a język je zrównuje, bo w obie strony mówimy „trzeba". Z przesłanek wynika, że bez tysięcy godzin nikt nie zostaje wybitnym pianistą — czyli brak ćwiczeń przesądza o porażce. Nie wynika nic o tym, co przesądza o sukcesie, bo druga przesłanka pokazuje wprost tłum ludzi, którzy warunek spełnili i nie zostali wybitni. Ta sama podmiana działa w zdaniach o firmach („żadna nie urosła bez marketingu, więc zainwestujmy i urośniemy") i jest bliską kuzynką odwrócenia relacji przynależności z początku rozdziału: tam „A jest B" zamieniano na „B jest A", tu „bez A nie ma B" na „A daje B".

Połowa osób, które przećwiczą tysiące godzin, zostanie wybitnymi pianistami.
Przesłanki mówią tylko, że wiele takich osób wybitnymi pianistami nie zostało. Ile — tego nie podają, więc połowa jest liczbą z powietrza. Ćwiczenie jest konieczne, ale nie wystarczające.

Kto nie przećwiczył tysięcy godzin, nie jest wybitnym pianistą.
To jedyne poprawne odwrócenie zdania o warunku koniecznym — i wynika z pierwszej przesłanki ściśle.

Samo przećwiczenie tysięcy godzin nie wystarcza, by zostać wybitnym pianistą.
Druga przesłanka podaje tłum ludzi, którzy warunek spełnili i wybitni nie są.

O tym przesłanki milczą: czy osób, które przećwiczyły tysiące godzin, jest więcej niż wybitnych pianistów.
Wynika: wszyscy wybitni pianiści należą do grona ćwiczących tysiące godzin, a do tego grona należą jeszcze osoby, które wybitne nie są. Ćwiczących jest więc więcej.

O tym, kto zostanie wybitnym pianistą, decyduje talent.
Z przesłanek wynika tylko, że ćwiczenia nie wystarczają. Co jeszcze jest potrzebne — talent, nauczyciel, czas, szczęście — przesłanki nie mówią.

Zgoda rodziców jest tu warunkiem koniecznym: bez niej nikt z klasy nie pojechał. Warunek konieczny to taki, bez którego się nie da; warunek wystarczający to taki, przy którym już się udaje. Pierwsza przesłanka mówi o pierwszym i nic nie obiecuje o drugim. Dlatego o Ali wiemy dużo: nie oddała zgody, więc nie pojechała — to kontrapozycja, bo każdy, kto pojechał, zgodę oddał. O Marku wiemy mało: zgodę oddał, ale to tylko spełnia wymóg wejścia na listę. Czy pojechał, zależy od tego, czy były jeszcze inne warunki, a przesłanki o nich milczą. Wniosek „oddał zgodę, więc pojechał" zamienia „bez A nie ma B" na „A daje B" i jest bliskim kuzynem odwrócenia zdania o przynależności z początku rozdziału: tam „A jest B" czytano jako „B jest A", tu „bez zgody nie jedzie" czyta się jako „ze zgodą jedzie".

Każdy uczeń klasy 6c, który oddał wychowawczyni podpisaną zgodę rodziców, pojechał na szkolną wycieczkę.
Zgoda jest warunkiem koniecznym, a nie wystarczającym. Przesłanka mówi, że bez zgody nikt nie pojechał, ale nie, że ze zgodą każdy pojechał. Uczeń taki jak Marek mógł mieć jeszcze inną przeszkodę.

Ala z klasy 6c nie znalazła się wśród uczniów, którzy pojechali na szkolną wycieczkę.
To kontrapozycja pierwszej przesłanki. Skoro każdy, kto pojechał, oddał zgodę, to ktoś, kto zgody nigdy nie oddał, jak Ala, pojechać nie mógł. Wniosek idzie od braku zgody do braku wyjazdu — to jedyny kierunek, w którym ta przesłanka działa.

Z przesłanek nie wynika, że Marek pojechał na szkolną wycieczkę, choć oddał zgodę.
Zgoda jest warunkiem koniecznym: bez niej nikt nie pojechał. O tym, czy wystarcza, przesłanki milczą — mogły być jeszcze inne wymagania. Wniosek mówi dokładnie tyle, ile wolno.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że w klasie 6c część uczniów oddała zgodę, a część nie.
Wynika, i to z dwóch przesłanek naraz: Marek zgodę oddał, a Ala nigdy jej nie oddała. Klasa 6c dzieli się więc na tych, którzy zgodę oddali, i tych, którzy jej nie oddali. Zdanie brzmi ostrożnie, ale odmawia czegoś, co przesłanki podają wprost.

Marek z klasy 6c nie oddał wychowawczyni podpisanej zgody rodziców.
Druga przesłanka mówi, że Marek oddał wychowawczyni podpisaną zgodę. Wniosek twierdzi, że jej nie oddał, więc przeczy przesłance, a nie tylko wychodzi poza nią.

Marek, mimo oddanej zgody, nie pojechał na wycieczkę z klasą 6c.
To błąd w drugą stronę. Przesłanki nie mówią, że zgoda nie wystarcza, tylko że nic nie mówią o jej wystarczalności. Marek mógł pojechać i mógł nie pojechać, więc „nie pojechał" jest równie nieuzasadnione jak „pojechał".

Pierwsza przesłanka stawia warunek konieczny: bez regularnego treningu nikt medalu nie zdobył. Druga pokazuje, ile z tego wynika w praktyce. Troje uczniów z medalem mieści się wśród dwunastu, którzy trenowali co najmniej dwa razy w tygodniu — mieści się, bo każdy medalista musiał tak trenować. Zostaje więc dwanaście minus trzy, czyli dziewięciu uczniów, którzy trenowali tyle samo i medalu nie mają. Trening jest potrzebny, ale nie wystarcza: warunek spełniło czterokrotnie więcej osób, niż dostało medal. Wniosek „kto trenuje dwa razy w tygodniu, zdobędzie medal" zamienia „bez treningu nie ma medalu" na „trening daje medal". W biegach liczy się jeszcze wiele innych rzeczy, o których przesłanki milczą, a wystarczy, że choć jedna osoba spełni warunek i przegra, żeby takie zdanie przestało być prawdziwe.

Każdy uczeń, który trenuje co najmniej dwa razy w tygodniu, zdobędzie medal w szkolnych biegach.
Trening jest konieczny, a nie wystarczający. Trenowało dwunastu uczniów, a medal dostało troje, więc dziewięciu spełniło warunek i medalu nie zdobyło. Zdanie odwraca zależność.

Dziewięciu uczniów trenowało co najmniej dwa razy w tygodniu, a nie ma medalu, bo z dwunastu trenujących medal dostało troje.
Troje medalistów trenowało co najmniej dwa razy w tygodniu (pierwsza przesłanka), więc są wśród tych dwunastu. Zostaje 12 − 3 = 9 uczniów, którzy trenowali tyle samo i medalu nie mają. Wniosek wymaga złożenia przesłanek i jednego odejmowania.

Nikt, kto trenował rzadziej niż dwa razy w tygodniu, nie przyniósł do domu medalu ze szkolnych biegów.
To kontrapozycja pierwszej przesłanki. Każdy medalista trenował co najmniej dwa razy w tygodniu, więc ktoś, kto trenował rzadziej, medalistą być nie mógł. Wniosek idzie od braku warunku do braku nagrody, a to zawsze wolno.

Z przesłanek nie wynika, że troje uczniów z medalem należy do tych dwunastu, którzy trenowali co najmniej dwa razy w tygodniu.
Wynika. Każdy medalista trenował co najmniej dwa razy w tygodniu (pierwsza przesłanka), więc wszyscy troje medalistów są wśród dwunastu uczniów, którzy tak trenowali (druga). Ostrożne „nie wynika" odmawia tu złożenia dwóch przesłanek.

Medale w szkolnych biegach zdobyło dwunastu uczniów tej szkoły.
Druga przesłanka mówi, że medale zdobyło troje uczniów. Dwunastu to liczba tych, którzy trenowali co najmniej dwa razy w tygodniu, więc wniosek myli dwie grupy i przeczy przesłance.

Medale w szkolnych biegach zdobyli ci uczniowie, którzy mieli najlepsze buty do biegania.
Przesłanki mówią o treningu, a nie o sprzęcie. Co jeszcze decydowało o medalach — buty, talent, szczęście — nie wiemy, więc ten wniosek podaje powód dopisany z zewnątrz.

Pierwsze zdanie robi z nagrzanego piekarnika warunek konieczny: bez niego biszkopt nie wyrasta. O tym, że ciepło wystarcza, nic w nim nie ma. Drugie zdanie pokazuje to dosłownie: Ania miała nagrzany piekarnik i biszkopt opadł, więc jedna taka próba rozstrzyga, że nagrzanie nie gwarantuje sukcesu. Z przesłanek wynikają zatem dwie rzeczy: kontrapozycja (biszkopt z nienagrzanego piekarnika nie wyrósł) oraz to, że samo nagrzanie nie wystarcza. Nie wynika wniosek „nagrzej piekarnik, a biszkopt wyrośnie", czyli zamiana „bez A nie ma B" na „A daje B". Ta sama pułapka siedzi w każdym przepisie, w którym jakiś składnik jest niezbędny: jajka są potrzebne do biszkoptu, ale samo ich posiadanie nie robi z nikogo cukiernika. Warunków wystarczających zwykle jest kilka, a przesłanki wymieniają tylko jeden z koniecznych.

Następny biszkopt, który Ania wstawi do nagrzanego piekarnika, wyrośnie.
Nagrzany piekarnik jest konieczny, a nie wystarczający. Druga przesłanka pokazuje to wprost: Ania wstawiła biszkopt do nagrzanego piekarnika i biszkopt opadł, więc kolejny biszkopt z nagrzanego piekarnika też może opaść.

Biszkopt, który wstawiono do piekarnika jeszcze nienagrzanego, nie mógł wyrosnąć.
To kontrapozycja pierwszej przesłanki. Każdy biszkopt, który wyrósł, był upieczony w nagrzanym piekarniku, więc biszkopt z piekarnika nienagrzanego wyrosnąć nie mógł. To jedyny kierunek, w którym ta przesłanka działa.

Samo nagrzanie piekarnika nie wystarcza, by biszkopt wyrósł, bo znamy biszkopt, który mimo niego opadł.
Wystarczy jeden przypadek, w którym warunek był spełniony, a efektu nie ma. Ania miała nagrzany piekarnik i biszkopt opadł, więc nagrzanie nie może być warunkiem wystarczającym.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że nagrzanie piekarnika ma znaczenie dla tego, czy biszkopt wyrośnie.
Znaczenie ma: pierwsza przesłanka mówi, że każdy biszkopt, który wyrósł, był w nagrzanym piekarniku. Bez nagrzania biszkopt nie wyrasta. To wynika wprost, a „nie wynika" udaje ostrożność tam, gdzie wniosek jest pewny.

Piekarnik, do którego Ania wstawiła swój biszkopt, nie był jeszcze nagrzany.
Druga przesłanka mówi, że Ania wstawiła biszkopt do nagrzanego piekarnika. Wniosek twierdzi coś przeciwnego, więc zaprzecza przesłance.

Biszkopt Ani opadł, bo otworzyła piekarnik, zanim ciasto zdążyło się zrumienić i ściąć.
Przesłanki mówią, że biszkopt opadł, ale nie dlaczego. To, że Ania otworzyła piekarnik za wcześnie, jest wymyślone — mogło być zupełnie coś innego.

Uogólnienie nie musi kłamać, by zafałszować. „Dzieci się pobiły" jest zdaniem o dwóch dzieciach, które pasuje do sytuacji na tyle, że trudno je nazwać nieprawdą — a zarazem przenosi na Marka połowę odpowiedzialności, której przesłanki mu nie przypisują. Sztuczka polega na wejściu o jeden poziom abstrakcji wyżej: zamiast „Jacek uderzył Marka" mówimy o „dzieciach", a wtedy kto komu co zrobił przestaje być widoczne. Działa to w obie strony politycznie: „na ulice wyszło kilkaset tysięcy osób" i „protestowała garstka awanturników" mogą opisywać ten sam dzień. Wniosek jest prosty: gdy ktoś wchodzi na wyższy poziom abstrakcji, zapytaj, co dokładnie na nim zniknęło.

Dzieci się pobiły i obaj chłopcy mają w tym swój udział.
„Pobiły się" sugeruje, że bili się obaj, a uderzył tylko Jacek. Uogólnienie do „dzieci" ukrywa to, kto komu co zrobił.

Za to, co się stało, odpowiada Jacek, a Marek nikogo nie uderzył.
To przesłanki na właściwym poziomie szczegółu, więc wynikają na pewno.

Między Jackiem a Markiem doszło do przemocy fizycznej.
To też uogólnienie, ale takie, które nie przypisuje Markowi niczego — dlatego wynika.

Jacek jest agresywnym chłopcem, który bije kolegów.
Przesłanki mówią o jednym uderzeniu, a to zdanie opisuje cechę Jacka i jego zwyczaj. Z jednego zdarzenia nie wynika, jaki Jacek jest na co dzień.

Marek wcześniej Jacka sprowokował.
O tym, co było wcześniej, przesłanki nie mówią nic. To dopisana historia, nie wniosek.

W sklepie podrożały trzy rodzaje towaru z dwudziestu: truskawki, ogórki i cebula. Pozostałych siedemnaście kosztuje tyle samo co miesiąc temu. Zdanie „owoce i warzywa w tym sklepie drożeją" jest prawdziwe w najwęższym sensie, bo trzy ceny naprawdę poszły w górę, a mimo to daje fałszywy obraz: słuchacz wyobraża sobie sklep, w którym podrożało prawie wszystko. Sztuczka polega na wejściu na poziom „owoce i warzywa" zamiast mówić o trzech konkretnych rodzajach. Na tym poziomie zniknęło to, co najważniejsze: w 85 przypadkach na 100 nic się nie zmieniło. Nie wiemy też, o ile podrożały te trzy, więc nie wiemy, czy cały koszyk zakupów jest wyraźnie droższy. Uczciwe zdanie wymienia, co podrożało, i mówi, że reszta kosztuje tyle samo.

Ceny nie zmieniły się dla ponad czterech piątych rodzajów owoców i warzyw w tym sklepie.
Z 20 rodzajów podrożały 3, więc 17 kosztuje tyle samo, a 17 z 20 to 85%, czyli więcej niż cztery piąte. Wniosek wymaga odjęcia i porównania z ułamkiem i pokazuje, co zginęło w zdaniu „owoce i warzywa drożeją".

Z przesłanek nie wynika, że całe zakupy w tym sklepie kosztują teraz wyraźnie więcej niż miesiąc temu.
Wiemy tylko, że trzy z dwudziestu cen wzrosły. Nie wiemy, o ile, ani czy ktoś w ogóle kupuje akurat te trzy rzeczy. Dlatego nie wynika, że całe zakupy zrobiły się wyraźnie droższe.

Sklep podnosi ceny prawie wszystkiego, co sprzedaje.
Podrożało 3 rodzaje z 20, a 17 kosztuje tyle samo. „Prawie wszystko" to zupełnie inna skala niż piętnaście procent. Takie zdanie bierze się z ogólnego „ceny owoców i warzyw rosną", które przeniosło zmianę na cały sklep.

Ceny wszystkich 20 rodzajów towaru w sklepie z warzywami i owocami są takie same jak miesiąc temu.
Pierwsza przesłanka wymienia trzy rodzaje, które podrożały: truskawki, ogórki i cebulę. Wniosek, że ceny wszystkich są takie same jak miesiąc temu, temu zaprzecza.

Podrożało siedemnaście rodzajów owoców i warzyw, a ceny trzech pozostały takie same.
Liczby są zamienione miejscami: podrożały trzy rodzaje, a siedemnaście zostało bez zmian, a nie na odwrót.

Z przesłanek nie wynika, że w tym miesiącu podrożał mniej niż co szósty rodzaj towaru w sklepie.
Wynika: co szósty rodzaj z dwudziestu to ponad trzy rodzaje (20 podzielić na 6 to około 3,3), a podrożały tylko trzy, czyli mniej niż co szósty. Wystarczy jedno dzielenie na liczbach z przesłanek.

Przez miesiąc trzy razy leżały na klatce worki ze śmieciami i za każdym razem zostawiła je ta sama rodzina z mieszkania 12. W bloku mieszka 40 rodzin, więc 39 z nich nie ma z tym nic wspólnego. Jedna rodzina na czterdzieści to 2,5 na sto. Zdanie „mieszkańcy bloku zostawiają śmieci na klatce" nie jest kłamstwem w tym sensie, że śmieci rzeczywiście leżały i ktoś z bloku je zostawił. Ale gdy mówimy o „mieszkańcach", słuchacz widzi cały blok, a nie jedną rodzinę. Ogólne słowo przeniosło winę z jednego mieszkania na czterdzieści. Gdy ktoś wchodzi na wyższy poziom abstrakcji, warto zapytać, kto dokładnie to zrobił i ilu ich było: tutaj odpowiedź brzmi „jedna rodzina i trzy worki".

Worki ze śmieciami zostawiła na klatce tylko jedna rodzina z czterdziestu, czyli mniej niż 3 na 100.
Worki zostawiała jedna rodzina z 40, a jedna czterdziesta to 2,5 na 100, czyli mniej niż 3 na 100. Wniosek wymaga podzielenia i pokazuje, jak mała część bloku stoi za zdaniem o „mieszkańcach".

Ktoś z bloku zostawiał śmieci na klatce, ale nie można tego powiedzieć o mieszkańcach jako o ogóle.
Zdanie ma dwie części i obie wynikają z przesłanek: ktoś z bloku faktycznie zostawiał worki, bo je nagrano, ale była to jedna rodzina na czterdzieści, więc o „mieszkańcach" jako całości tego powiedzieć nie wolno.

Mieszkańcy tego bloku zostawiają śmieci na klatce i nie dbają o wspólne miejsca.
Śmieci zostawiała jedna rodzina z mieszkania 12, a pozostałe rodziny wyrzucały je do kontenera. Słowo „mieszkańcy" robi z jednego mieszkania cechę całego bloku, której przesłanki nie dają.

W ciągu miesiąca worki ze śmieciami leżały na klatce schodowej dziesięć razy.
Pierwsza przesłanka mówi, że w ciągu miesiąca worki leżały na klatce trzy razy, a nie dziesięć. Ten wniosek podaje inną liczbę, więc jest fałszywy, a nie tylko za mocny.

Rodzina z mieszkania 12 zostawiała worki na klatce, bo kontener przed blokiem był przepełniony.
Przesłanki mówią, kto zostawiał worki, a nie dlaczego. O przepełnionym kontenerze, który miałby być powodem, nie ma w nich ani słowa, więc to dopisana historia, a nie wniosek.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że rodzina z mieszkania 12 zostawiła worki na klatce więcej niż dwa razy.
Wynika: worki leżały na klatce trzy razy (pierwsza przesłanka) i za każdym razem zostawiła je ta sama rodzina z mieszkania 12 (druga), więc zrobiła to trzy razy, czyli więcej niż dwa. To właśnie ta konkretna informacja ginie w zdaniu o „mieszkańcach bloku".

Rodzina Kasi była nad morzem 14 dni, a deszcz padał przez 2 z nich. Pozostałe 12 dni było słonecznych, czyli sześć razy więcej niż deszczowych. Zdanie „nad morzem była okropna pogoda" brzmi jak opis całego wyjazdu, a opisuje jedną siódmą jego długości. Nie jest kłamstwem, bo deszcz naprawdę padał, ale kto tylko to usłyszy, wyobrazi sobie tygodnie w domku. Uogólnienie „pogoda była zła" zamazało różnicę między dwoma dniami a czternastoma. Przesłanki nie mówią zresztą, czy wakacje były udane, bo na to wpływa wiele rzeczy poza pogodą. Dobre pytanie do każdego takiego zdania brzmi: ile dni, ile osób, ile rzeczy naprawdę kryje się pod tym ogólnym słowem?

Podczas wyjazdu nad morze dni ze słońcem było sześć razy więcej niż dni z deszczem.
Z 14 dni deszczowe były 2, więc słonecznych jest 12. Dwanaście do dwóch to sześć do jednego. Wniosek wymaga odjęcia i podzielenia i pokazuje, jak mało deszczowych dni kryje zdanie „pogoda była zła".

Z przesłanek nie wynika, że przez większość wakacji pogoda była zła: deszcz padał mniej niż co szósty dzień.
Deszcz padał przez 2 dni z 14, czyli przez jedną siódmą wyjazdu. Jedna szósta z 14 dni to około 2,3 dnia, więc dwa dni to mniej niż jedna szósta. Żeby pogoda była zła przez większość wakacji, deszczowych dni musiałoby być ponad siedem, a były dwa.

Pogoda nad morzem była fatalna, a wakacje Kasi i jej rodziny były zmarnowane.
Padało przez 2 dni z 14, a w pozostałe 12 świeciło słońce i rodzina chodziła na plażę. „Pogoda była fatalna" i „wakacje zmarnowane" opisują cały wyjazd, a przesłanki dają tylko dwa dni.

Nad morzem przez cały pobyt świeciło słońce i nie spadła ani kropla deszczu.
Druga przesłanka mówi, że przez 2 dni padał deszcz i rodzina siedziała w domku. Ten wniosek temu zaprzecza, więc jest fałszywy.

Nad morzem padało przez dwanaście z czternastu dni, a słońce świeciło tylko w dwa dni.
Liczby są zamienione: deszcz padał przez 2 dni, a słońce świeciło przez 12, a nie na odwrót.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że rodzina Kasi chodziła na plażę przez ponad tydzień.
Wynika: wyjazd trwał 14 dni, deszcz padał przez 2, a w pozostałe 12 świeciło słońce i rodzina chodziła na plażę. Dwanaście dni to więcej niż tydzień. To właśnie ta informacja ginie w zdaniu „pogoda była okropna".

Spór o granice pojęcia wygląda dokładnie jak spór o fakty i dlatego trwa bez końca — bo obie strony mają rację, tylko o czym innym. Druga przesłanka rozstrzyga sprawę: wydarzenia i daty są w obu książkach te same, więc nikt tu niczego nie przemilcza ani nie przekręca. Różnica dotyczy słowa „światowa": autorzy amerykańscy liczą od momentu, w którym konflikt objął ich kraj i rozlał się na Pacyfik, polscy od pierwszego strzału w Europie. Oba rozumienia są obronne i żadne nie jest faktem — są decyzją o tym, gdzie postawić granicę pojęcia. Rozpoznanie takiego sporu jest tanie i opłacalne: wystarczy zapytać „co dokładnie rozumiesz przez to słowo", a połowa kłótni kończy się w tym miejscu.

Amerykański podręcznik przedstawia historię wojny nieprawdziwie.
Wydarzenia i daty są w obu podręcznikach te same — mówi to druga przesłanka. Różnica dotyczy tego, co uznać za początek wojny „światowej", czyli granicy pojęcia, a nie faktów.

Podręczniki różnią się nie faktami, a tym, co nazwać początkiem wojny.
To dokładny opis tego, co z obu przesłanek wynika.

Z różnicy dat początku nie wynika, że jeden z podręczników podaje nieprawdę.
Druga przesłanka mówi, że wydarzenia i ich daty są w obu książkach te same, więc różnica dat nie wskazuje na błąd żadnego z nich. Podręczniki spierają się o to, co nazwać początkiem wojny światowej, a nie o fakty, więc żaden z nich nie musi mówić nieprawdy.

Oba podręczniki wskazują ten sam początek II wojny światowej.
To zdanie zaprzecza pierwszej przesłance: jeden podręcznik podaje rok 1941, drugi 1939. Przy sporze o granicę pojęcia różnica jest prawdziwa — tylko nie dotyczy faktów, a tego, co uznać za początek.

O początku II wojny światowej nie da się sensownie rozmawiać.
Przeciwnie — po ustaleniu, co każdy rozumie przez „wojnę światową", rozmowa staje się łatwa. Rozpoznanie sporu o słowo jest rozwiązaniem, nie kapitulacją.

Ala i Bartek zgadzają się co do wszystkiego, co da się o szachach sprawdzić: są w nich turnieje, rankingi i trenerzy, a zawodnicy podczas partii siedzą prawie bez ruchu. Nie mają więc o co się spierać w sprawie faktów. Spierają się o słowo „sport". Ala rozumie je szeroko: sport to rywalizacja z turniejami i trenerami. Bartek rozumie je wąsko: sport to gra, w której rusza się całe ciało. Według pierwszego rozumienia szachy są sportem, według drugiego nie są, i żadne z nich nie musi się mylić — każde mówi prawdę o szachach w swoim znaczeniu słowa. Taka kłótnia może trwać bez końca, dopóki któreś nie zapyta: „co dokładnie nazywasz sportem?". Po tym pytaniu często okazuje się, że nie ma już o co się kłócić, albo że trzeba wybrać, które znaczenie przyjmą na potrzeby rozmowy.

Gdyby Ala rozumiała „sport" tak jak Bartek, sama uznałaby, że szachy sportem nie są, bo gracze siedzą w nich prawie bez ruchu.
Bartek nazywa sportem tylko grę, w której rusza się całe ciało, a przy szachach zawodnicy siedzą prawie bez ruchu. Po przyjęciu jego rozumienia słowa „sport" Ala musiałaby więc przyznać, że szachy do sportu nie należą. Nie zmieniłby się przy tym żaden fakt, tylko znaczenie słowa.

Wiedząc tylko tyle o szachach, nie da się rozstrzygnąć, czy to sport, dopóki nie ustalimy, co znaczy „sport".
O szachach wiemy już wszystko, co spór mógłby rozstrzygnąć, a mimo to Ala i Bartek odpowiadają różnie. Odpowiedź „tak" albo „nie" zależy więc wyłącznie od tego, co każde z nich nazywa sportem. Bez uzgodnienia znaczenia słowa żaden dodatkowy fakt o szachach niczego tu nie zmieni.

Ala i Bartek mówią o szachach co innego, a jedno z nich myli się co do faktów.
Druga przesłanka mówi, że oboje opisują szachy tak samo. Nie ma więc faktu, w którym któreś mogłoby się mylić. Różne odpowiedzi biorą się stąd, że każde z nich inaczej rozumie słowo „sport", a nie stąd, że jedno z nich źle zna szachy.

Ala i Bartek kłócą się o szachy, bo Ala sama gra w szachy, a Bartek woli grać w piłkę.
O tym, w co grają Ala i Bartek, przesłanki nie mówią nic. To dopisany powód kłótni. Przesłanki podają inny, w pełni wystarczający: każde z nich ma własne rozumienie słowa „sport".

Według rozumienia Ali szachy nie są sportem, a według rozumienia Bartka — są sportem.
Strony są pomylone. To Ala uważa szachy za sport, bo mają turnieje, rankingi i trenerów, a Bartek nie, bo nie rusza się w nich całe ciało.

Przesłanki nie przesądzają, że gdyby Bartek rozumiał „sport" tak jak Ala, sam uznałby szachy za sport.
Wynika, tak samo jak w drugą stronę. Ala nazywa sportem rywalizację z turniejami, rankingami i trenerami, a szachy to wszystko mają, o czym oboje wiedzą. Po przyjęciu jej rozumienia słowa „sport" Bartek musiałby więc przyznać, że szachy są sportem — bez zmiany jakiegokolwiek faktu.

Mama i tata znają te same daty: 20 listopada spadł śnieg, a 21 grudnia wypada przesilenie. Nikt tu niczego nie przekręca ani nie przemilcza. Różnią się tym, który z tych dni uznają za początek zimy. Mama liczy zimę kalendarzowo, od przesilenia, a tata po swojemu, od pierwszego śniegu. Między tymi dniami jest 31 dni i przez cały ten czas tata powie „zima jest", a mama „jeszcze nie". Brzmi to jak spór o pogodę, a jest sporem o to, gdzie postawić granicę pojęcia „zima". Żadna nowa obserwacja go nie rozstrzygnie, bo wszystkie obserwacje są już zgodne. Wystarczy ustalić, o której zimie mowa: kalendarzowej czy takiej, jaką widać za oknem, i kłótnia przestaje mieć paliwo.

Od 20 listopada do 20 grudnia tata uzna, że zima już trwa, a mama, że jeszcze jej nie ma.
Według taty zima zaczyna się 20 listopada, więc w każdym dniu od tej daty uzna, że już trwa. Według mamy zaczyna się dopiero 21 grudnia, więc do 20 grudnia powie, że jej jeszcze nie ma. W tym czasie ich odpowiedzi muszą się różnić, choć oboje patrzą na te same dni i te same daty.

Według taty zima zaczęła się o 31 dni wcześniej niż według mamy.
Od 20 do 30 listopada jest 10 dni, a do 21 grudnia dochodzi jeszcze 21, razem 31. Tyle dni dzieli początek zimy według taty od początku zimy według mamy. To wniosek z dwóch dat i prostego rachunku.

Zima zaczęła się naprawdę 20 listopada, a mama się myli.
Nie ma „prawdziwego" dnia, w którym zima naprawdę się zaczęła, bo to zależy od tego, co nazwiemy zimą. Mama, licząc od przesilenia, nie myli się w żadnym fakcie. Wniosek wybiera jedno rozumienie słowa i ogłasza je prawdą.

Mama i tata podają różne daty pierwszego śniegu i różne daty przesilenia.
Pierwsza przesłanka mówi wprost, że mama i tata zgadzają się co do obu dat. Ten wniosek temu zaprzecza, a nie tylko za mocno cokolwiek twierdzi.

Według mamy zima zaczyna się wraz z pierwszym śniegiem, a według taty w dniu przesilenia.
Role są zamienione. Mama liczy zimę od przesilenia, a tata od pierwszego śniegu, a nie na odwrót.

Z przesłanek nie wynika, żeby w dniu przesilenia mama i tata zgodnie uznali, że zima już jest.
Wynika: mama liczy zimę od przesilenia, więc 21 grudnia uznaje, że zima już jest, a tata liczy ją od 20 listopada, więc w tym dniu zima trwa według niego od ponad miesiąca. Od przesilenia odpowiedzi obojga się zgadzają; różnią się tylko wcześniej.

Dolnica ma 300 tysięcy mieszkańców w granicach miasta i kolejne 200 tysięcy w okolicznych wsiach, z których ludzie codziennie jeżdżą do niej do pracy. Adam i Basia nie mają różnych danych, tylko różne rozumienie słów „mieszkańcy Dolnicy". Adam liczy tylko tych, którzy mieszkają w mieście, więc dostaje 300 tysięcy. Basia dolicza okolicę, więc dostaje 300 plus 200, czyli 500 tysięcy. Obie liczby są prawdziwe dla tego, co każde z nich liczy, a różnica 200 tysięcy to dokładnie ludzie z okolicznych wsi. Nie ma jednej „prawdziwej" liczby, którą jedno z nich odkryło, a drugie przeoczyło: jest decyzja, czy do miasta wlicza się jego okolicę. Pytanie „kogo liczysz?" kończy ten spór szybciej niż jakiekolwiek ponowne liczenie.

Gdyby Adam doliczył mieszkańców okolicznych wsi, jego liczba wyniosłaby tyle samo, co liczba Basi.
Do 300 tysięcy ludzi z miasta Adam dodałby 200 tysięcy z okolicznych wsi i wyszłoby mu 500 tysięcy, czyli dokładnie tyle, ile Basi. Liczą więc tych samych ludzi, tylko różnie wyznaczają, kto jest „mieszkańcem Dolnicy".

Z samej różnicy między liczbami podanymi przez Adama i Basię nie wynika, że ktoś źle policzył, bo mogli liczyć różne grupy ludzi.
Dwie różne liczby mogą oznaczać dwa błędy, ale mogą też oznaczać dwa różne pytania. Tu 300 tysięcy to ludzie z miasta, a 500 tysięcy ludzie z miasta i okolicy, więc oba rachunki mogą być bez zarzutu. Sama różnica nie dowodzi, że ktoś się pomylił.

Prawdziwa liczba mieszkańców Dolnicy to 500 tysięcy, a Adam się pomylił.
Zdanie zakłada, że Adam pominął część ludzi przez pomyłkę, ale on nie pominął nikogo przez pomyłkę — świadomie liczy tylko tych, którzy mieszkają w mieście, i dla tej grupy 300 tysięcy jest liczbą dokładną. „Prawdziwej" liczby jednej dla obu znaczeń słowa nie ma.

Okoliczne wsie są wyludnione, a liczba Basi nie ma oparcia w faktach.
Pierwsza przesłanka podaje, że w okolicznych wsiach mieszka 200 tysięcy osób. Ten wniosek temu zaprzecza, więc jest fałszywy, a nie tylko za mocny.

Liczby się różnią, bo Basia liczyła później niż Adam, a w tym czasie w Dolnicy przybyło mieszkańców.
O tym, kiedy kto liczył, przesłanki nie mówią nic. Różnicę 200 tysięcy wyjaśnia coś innego, co jest w drugiej przesłance: Basia liczy też ludzi z okolicznych wsi, a Adam ich nie liczy.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że liczba Basi obejmuje wszystkich, których policzył Adam.
Wynika: Basia liczy mieszkańców miasta i do tego ludzi z okolicznych wsi, a Adam tylko tych z miasta. Jego 300 tysięcy mieści się więc w jej 500 tysiącach, a różnica 200 tysięcy to dokładnie okolica.

Dwie naprawdę niezależne informacje wzmacniają wniosek wielokrotnie. Jeśli pewność każdej oceniamy na 80%, to prawdopodobieństwo, że obie są jednocześnie błędne, wynosi 20% × 20%, czyli 4% — pewność rośnie więc do 96%. Ten rachunek działa jednak wyłącznie przy niezależności. Tutaj nie ma dwudziestu ustaleń, jest jedno, powtórzone dwadzieścia razy, a wtedy dwudziesty przedruk dodaje dokładnie tyle, ile dodałby pięćdziesiąty, czyli nic. Specjaliści od dezinformacji wykorzystują to wprost: wystarczy jedna absurdalna deklaracja podsunięta dużej agencji, by po dwóch przedrukach brzmiała już jak ustalenie, a nie cytat — i by w tej formie wróciła nawet do kraju, z którego wyszła.

Dwadzieścia serwisów to dwadzieścia razy większa pewność, że woda w mieście jest zatruta.
To nie dwadzieścia źródeł, a jedno powtórzone dwadzieścia razy. Nikt nie sprawdził tego osobno, więc liczba serwisów nie dodaje ani krzty pewności.

Pewność tej wiadomości jest taka jak pewność jednej depeszy Kuriera.
Wszystkie dwadzieścia serwisów powtarza jedną depeszę Kuriera, więc pewność całości jest pewnością tej depeszy. Dwudziesty przedruk dodaje tyle samo, ile dodałby pięćdziesiąty — nic.

Ta wiadomość dobrze się klika — dlatego tyle serwisów ją przepisało.
To zdanie mówi o serwisach, a nie o wodzie — i tyle rzeczywiście z przesłanek wynika. Ale przepisanie gotowej wiadomości jest tak tanie, że robi się to i bez klikalności.

Przesłanki nie przesądzają, że trzydzieści kolejnych przedruków tej samej depeszy nie zwiększyłoby pewności wiadomości.
Przesądzają. Wszystkie serwisy powtarzają jedną depeszę Kuriera, więc przedruk nie jest nowym świadkiem: pewność całości jest pewnością tej depeszy, a trzydziesty pierwszy przedruk doda tyle, co dwudziesty pierwszy — nic. Nieznana jest wiarygodność Kuriera, a nie sposób liczenia.

Agencja Prasowa Kurier sprawdziła tę informację przed podaniem jej dalej.
Przesłanki nie mówią o pracy Kuriera ani słowa. To dopowiedzenie, nie wniosek — i akurat to dopowiedzenie jest kluczowe, bo cała pewność wiadomości na nim wisi.

Wiadomość o zatruciu wody jest nieprawdziwa.
Słaba podstawa nie czyni wiadomości fałszywą. Woda naprawdę może być zatruta — po prostu dwadzieścia przedruków nie jest argumentem ani za, ani przeciw.

Pięć wypowiedzi brzmi jak pięć potwierdzeń, ale policzone uczciwie to jedna relacja i cztery jej powtórzenia. Każde z czworga uczniów wie o szybie tylko tyle, ile powiedziała Ola, więc nie dodaje do jej słów niczego własnego. Dwie osoby, które niezależnie od siebie zobaczyły to samo, wzmocniłyby wniosek wyraźnie, bo szansa, że obie się pomyliły, jest dużo mniejsza niż szansa pomyłki jednej. Cztery powtórzenia tego nie robią: jeśli Ola się pomyliła albo wzięła kogoś za Kubę, to pomylili się wszyscy naraz, bo błąd jest jeden, tylko ma pięć głosów. Pewność całej sprawy jest więc tyle warta, ile słowo samej Oli — ani mniej, ani więcej. To nie znaczy, że Ola kłamie. Znaczy tylko, że liczba osób, które to mówią, przestała być argumentem.

Pięć niezależnych potwierdzeń dowodzi, że szybę w sali gimnastycznej rozbił Kuba.
To liczy powtórzenia jak niezależne potwierdzenia. Naocznym świadkiem jest tylko Ola, a czworo pozostałych dodaje jej słowom tyle, co echo, więc „dowód” z liczby głosów jest pozorny.

Gdyby Ola się pomyliła co do Kuby, błędnych byłoby od razu pięć wypowiedzi dyrektorce, a nie jedna.
Czworo uczniów powtarza to, co usłyszało od Oli, więc ich wypowiedzi stoją i upadają razem z jej słowami. Pomyłka Oli unieważniłaby wszystkie pięć naraz — dlatego nie są pięcioma niezależnymi dowodami.

Z pięciu wypowiedzi nie wynika większa pewność, że to Kuba rozbił szybę, niż ta, którą daje sama relacja Oli.
Jedyną osobą, która coś widziała, jest Ola. Czworo pozostałych niczego do tego nie dokłada, więc pewność całej sprawy jest równa pewności jednej relacji Oli — nie większa.

Ola wymyśliła tę historię, bo chciała, żeby Kuba miał kłopoty, a reszta jej po prostu uwierzyła.
Przesłanki nic nie mówią o intencjach Oli. Mówią, że tylko ona coś widziała — to każe ważyć jej słowa osobno, ale nie daje powodu, by uznać je za wymyślone.

Przesłanki nie przesądzają, że słowa Oli dają jakikolwiek powód do podejrzeń wobec Kuby.
Wynika. Ola sama to widziała, a relacja naocznego świadka jest poszlaką, choć tylko jedną. Trzeba ją policzyć raz, nie pięć razy — ale powiedzenie „nic" jest tak samo błędne jak „na pewno".

Cztery poradniki robią wrażenie czterech osobnych potwierdzeń, ale wystarczy zajrzeć do przypisów: wszystkie prowadzą do jednego artykułu. Nie ma tu czterech badań, jest jedno, opisane cztery razy. Ile ono waży, zależy od niego samego: obserwacja jednej klasy z dwudziestoma uczniami to skromna podstawa i taka pozostaje, choćby przytoczyło ją czterdzieści książek. Jeśli artykuł się mylił, mylą się wszystkie poradniki naraz; jeśli miał rację, poradniki niczego do tego nie dodały. Ważne jest też, czego z tego nie wolno wyciągać: skoro poparcie jest słabe, nie znaczy to, że teza jest fałszywa — wiemy tylko, że za nią stoi nie więcej niż jeden artykuł. Pokusę tego błędu podsyca to, że poradniki rzadko zaznaczają wspólne źródło dostatecznie wyraźnie, a czytelnik widzi cztery okładki.

Cztery niezależne poradniki potwierdzają, że dzieci najlepiej uczą się rano.
Zgodność czterech książek nic nie znaczy, gdy wszystkie wzięły tezę z jednego artykułu. Pewność całości jest taka jak pewność tego artykułu, który opisał jedną klasę.

To, co te poradniki mają na poparcie tezy o nauce rano, sprowadza się do obserwacji jednej klasy z dwudziestką dzieci.
Poradniki podają jedno źródło, a to źródło opisuje jedną klasę. Cała podstawa tezy to więc dwadzieścioro dzieci z jednej klasy, a nie cztery razy tyle.

Z czterech poradników nie wynika nic ponad to, co wynika z samego artykułu z 1998 roku.
Poradniki nie zebrały własnych danych — wszystkie odsyłają do artykułu. Cokolwiek ten artykuł uprawnia, tyle uprawniają i one razem, ani trochę więcej.

Teza, że dzieci uczą się najlepiej rano, jest fałszywa.
Słabe poparcie nie jest dowodem fałszu: z przesłanek wynika tylko, że za tezą stoi jeden skromny artykuł. Teza może być prawdziwa, tylko nie mamy na to mocniejszych podstaw.

Z przesłanek nie wynika, żeby wszystkie cztery poradniki powstały później niż artykuł z 1998 roku.
Wynika: każdy z poradników podaje ten artykuł jako źródło, więc nie mógł powstać wcześniej od niego. Zdanie udaje, że kolejność w czasie nie wynika z przesłanek, choć wynika z samego faktu cytowania.

Trzej lekarze zgodni co do tego, że metoda działa, wyglądają jak trzy osobne głosy ekspertów. Ale każdy z nich dostał to przekonanie z jednego miejsca — od profesora, który metodę wymyślił. Nie sprawdzili jej u własnych pacjentów, więc nie dołożyli żadnej nowej obserwacji. Prawdziwa niezależność wyglądałaby tak: każdy lekarz mierzy wyniki sam, bez porozumiewania się, i dopiero zgodność tych pomiarów jest mocna, bo trudno, żeby trzy osobne pomyłki zgrały się w to samo. Tu trzy głosy to jeden głos profesora z dwoma echami. Jeśli profesor się myli, wszyscy trzej mylą się razem; jeśli ma rację, ich zgoda nie dodała niczego do tego, co już wiedzieliśmy od niego. Dopóki wyniki nie zostaną policzone, wiarygodność metody to wiarygodność jednego człowieka.

Zgoda trzech lekarzy dowodzi, że metoda profesora Nowaka działa na ból pleców.
Trzej lekarze nie dołożyli żadnego własnego sprawdzenia, powtarzają profesora. Ich zgodność nie jest więc potwierdzeniem metody, tylko echem jej autora.

Trzej lekarze nauczyli się metody od jednego człowieka, więc ich zgoda jest tylko echem opinii profesora Nowaka.
Przekonanie trzech lekarzy ma jedno źródło i nie zostało niczym sprawdzone. Błąd profesora byłby więc błędem wszystkich trzech naraz — nie są trzema niezależnymi potwierdzeniami.

Z opinii trzech lekarzy nie wynika nic więcej, niż wynika z samych słów profesora Nowaka.
Lekarze niczego nie sprawdzali u własnych pacjentów, więc ich zgoda nie dokłada żadnej obserwacji do tego, co twierdzi autor metody.

Lekarze chwalą metodę tylko dlatego, że boją się sprzeciwić profesorowi Nowakowi.
Przesłanki nic nie mówią o strachu ani o motywach lekarzy. Mówią tylko, że powtarzają profesora i niczego nie sprawdzili — to ostrzega przed liczeniem ich głosów, ale nie tłumaczy, czemu je oddają.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że profesor Nowak znał tę metodę wcześniej niż każdy z trzech lekarzy.
Wynika: profesor metodę wymyślił, a lekarze nauczyli się jej od niego, więc znał ją wcześniej niż każdy z nich. Zdanie udaje, że nawet kolejność nie wynika z przesłanek — a ta kolejność pokazuje, skąd bierze się echo.

Prawdopodobieństwa wolno mnożyć tylko wtedy, gdy zdarzenia są od siebie niezależne. Tutaj nie są: wspólny prąd to wspólne źródło awarii, więc jedna przyczyna może położyć oba serwery naraz, więc jednoczesna awaria jest znacznie bardziej prawdopodobna niż jedna na dziesięć tysięcy. Na tym samym błędzie zbudowano kiedyś wyrok w sprawie Sally Clark: biegły pomnożył przez siebie prawdopodobieństwo dwóch śmierci łóżeczkowych w jednej rodzinie i otrzymał jedną na 73 miliony, choć w tym zjawisku kluczowe są genetyka i warunki w domu, czyli dokładnie to, co w jednej rodzinie jest wspólne. Kobieta spędziła trzy lata w więzieniu, zanim wyrok uchylono.

Szansa, że oba serwery padną tego samego dnia, to jedna na dziesięć tysięcy.
Mnożenie wolno zrobić tylko dla zdarzeń niezależnych. Te dzielą zasilanie, więc jedna awaria może położyć oba naraz — szansa jest wyraźnie większa.

Szansa, że oba serwery padną tego samego dnia, jest większa niż jedna na dziesięć tysięcy.
Właśnie to wynika z drugiej przesłanki: wspólne źródło awarii podnosi szansę jednoczesnej usterki powyżej iloczynu.

Na każdym z serwerów możemy się spodziewać w ciągu roku więcej niż trzech awarii.
Rok ma 365 dni, awaria wypada raz na sto, więc około 3,65 razy w roku — czyli więcej niż trzy. To wynika wprost z pierwszej przesłanki i nie dotyczy niezależności.

Awarie tych dwóch serwerów są od siebie niezależne.
To zaprzecza drugiej przesłance. Wspólne zasilanie jest dokładnie tym, co czyni te awarie zależnymi.

Nie da się oszacować, jak często awaria dotknie choć jednego z serwerów.
Da się, i to łatwo: każdy psuje się raz na sto dni, więc awarii na którymkolwiek będzie w roku kilka. Niezależność jest potrzebna do innego rachunku — nie do tego.

Jeśli oba serwery padną tego samego dnia, najprawdopodobniej zawini zasilanie.
Prawdopodobne, bo to jedyne wspólne elementy wymienione w przesłankach. Ale dwie niezależne usterki tego samego dnia też się zdarzają, a przesłanki tego nie wykluczają.

Iloczyn prawdopodobieństw wolno liczyć tylko dla zdarzeń niezależnych. Tutaj drugie losowanie zależy od pierwszego, bo cukierek został wyjęty i nie wraca do pudełka. Gdy pierwszy był miętowy, w pudełku zostaje 9 cukierków, w tym 3 miętowe, więc szansa na drugi miętowy to 3 na 9, a nie 4 na 10. Prawdziwy rachunek brzmi więc: 4/10 razy 3/9, czyli 12/90, czyli 2/15, około 13%. Rachunek „4/10 razy 4/10", który daje 16%, zakłada, że pierwszy cukierek wrócił do pudełka. Zależność nie musi pochodzić ze wspólnej przyczyny, jak w serwerach. Wystarczy, że pierwszy wynik zmienia to, co zostaje do wylosowania. To samo dzieje się przy kartach, kulach w urnie i każdej puli, z której coś się zabiera.

Szansa, że oba cukierki będą miętowe, wynosi 16%.
Wynik 16% pochodzi z mnożenia 4/10 przez 4/10, które zakłada, że drugi cukierek jest losowany z pełnego pudełka, a pierwszy nie wraca. Po miętowym zostaje 9 cukierków, w tym 3 miętowe, więc drugi czynnik to 3/9, nie 4/10.

Szansa, że oba wyjęte cukierki będą miętowe, wynosi 2 na 15, czyli około 13%.
Pierwszy cukierek jest miętowy z szansą 4/10. Jeśli tak, w pudełku zostaje 9 cukierków, w tym 3 miętowe, więc drugi jest miętowy z szansą 3/9. Iloczyn: 12/90 = 2/15, około 13%.

Po wyjęciu miętowego cukierka szansa na kolejny miętowy spada do 3 na 9; jednego miętowego już nie ma.
Na początku miętowych jest 4 z 10. Po wyjęciu jednego zostają 3 miętowe z 9 cukierków, czyli szansa wynosi 3 na 9 (jedna trzecia), a nie 4 na 10. To właśnie ta zmiana jest powodem, dla którego iloczyn dwóch czynników 4/10 tu nie działa.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że w pudełku jest sześć cukierków o innym smaku niż miętowy.
Wynika: w pudełku jest 10 cukierków, w tym 4 miętowe, więc 10 minus 4 daje 6 cukierków o innym smaku. To zwykłe dopełnienie. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają go wykonać.

Po wyjęciu pierwszego cukierka Ania wrzuciła go z powrotem do pudełka.
Przesłanka mówi wprost, że Ania pierwszego cukierka nie odkłada, więc w pudełku zostaje ich 9, w tym 3 miętowe. Ten wniosek zaprzecza przesłance o niewracaniu cukierka.

Szansa, że oba cukierki będą miętowe, jest większa niż 16%.
Kierunek jest odwrócony. Po wyjęciu miętowego drugi czynnik spada z 4/10 (40%) do 3/9 (około 33%), więc wynik jest mniejszy niż 16%, nie większy.

Mnożenie 30% przez 30% daje 9% i wygląda jak rachunek na szansę deszczu w oba dni. Jest poprawne tylko wtedy, gdy sobota i niedziela nie mają na siebie wpływu. Druga przesłanka mówi, że mają: deszczowa sobota podnosi szansę deszczowej niedzieli z 30% do 70% (deszcz często zostaje nad miastem na dłużej). Właściwy rachunek bierze szansę soboty i mnoży ją przez szansę niedzieli przy założeniu, że sobota była deszczowa: 30% razy 70% daje 21%. To ponad dwa razy więcej niż 9%. Gdyby ktoś zaplanował dwudniowy wyjazd, licząc, że deszcz w oba dni to zaledwie 9%, byłby zaskoczony ponad dwukrotnie częściej, niż sądził. Iloczyn „szansa razy szansa" zadziała dopiero wtedy, gdy drugi czynnik nie zmienia się z tego, co stało się wcześniej.

Szansa na deszcz i w sobotę, i w niedzielę wynosi 9%.
Wynik 9% to iloczyn 30% razy 30%, który zakłada, że sobota nie wpływa na niedzielę. Druga przesłanka mówi coś przeciwnego: po deszczowej sobocie niedziela ma 70% szans na deszcz. Wynik 9% jest więc za niski.

Szansa, że deszcz spadnie zarówno w sobotę, jak i w niedzielę, wynosi 21%.
Najpierw musi paść w sobotę (30%), a potem w niedzielę przy założeniu, że sobota była deszczowa (70%). Mnożymy te dwa czynniki: 0,3 razy 0,7 daje 0,21, czyli 21%.

Deszcz w oba dni jest ponad dwa razy bardziej prawdopodobny, niż daje mnożenie 30% przez 30%.
Prawdziwa szansa to 30% razy 70%, czyli 21%. A 21 podzielone przez 9 to około 2,3, więc deszcz w oba dni jest ponad dwa razy bardziej prawdopodobny, niż sugeruje samo mnożenie 30% przez 30%.

Przesłanki nie przesądzają, że po deszczowej sobocie deszcz w niedzielę jest bardziej prawdopodobny niż jego brak.
Wynika: gdy w sobotę pada, szansa na deszcz w niedzielę rośnie do 70%, a na brak deszczu zostaje 30%. 70 to więcej niż 30, więc deszcz jest wtedy bardziej prawdopodobny niż jego brak. Zdanie udaje, że druga przesłanka tego nie rozstrzyga.

Deszcz w sobotę nie wpływa na szansę deszczu w niedzielę.
Druga przesłanka mówi, że po deszczowej sobocie szansa na deszcz w niedzielę rośnie do 70%. To zdanie zaprzecza temu wprost, a nie tylko przesadza.

Szansa na deszcz w oba dni jest mniejsza niż 9%.
Kierunek jest odwrócony: skoro deszczowa sobota podnosi szansę niedzieli, deszcz w oba dni jest bardziej prawdopodobny niż 9%, a nie mniej. Rzeczywista wartość to 21%.

Gdyby oba testy były niezależne, szansa na dwa fałszywe alarmy u zdrowej osoby wynosiłaby 1/20 razy 1/20, czyli 1/400. Ale pomyłka nie jest tu losowym zdarzeniem, które za każdym razem rzuca kostką od nowa: bierze się z cechy osoby i wraca przy każdej powtórce. Jeśli pierwszy test już się pomylił, to drugi pomyli się z pewnością, czyli szansa warunkowa wynosi 1, a nie 1/20. Iloczyn wygląda więc tak: 1/20 razy 1 daje 1/20. Powtórka testu niczego nie zmienia dla osób z taką cechą: dwa fałszywe alarmy zdarzają się tak samo często jak jeden, a nie dwadzieścia razy rzadziej. Rachunek 1/400 zakłada niezależność, której tu nie ma, i wprowadza w błąd co do wartości powtórnego badania.

Szansa, że zdrowa osoba dostanie fałszywy alarm w obu testach, to 1 na 400.
Rachunek 1/20 razy 1/20 zakłada, że pomyłki drugiego testu nie zależą od pierwszego. Tu zależą: pomyłka bierze się z cechy osoby i wraca przy powtórce, więc wynik 1/400 jest o wiele za niski.

Dwa fałszywe alarmy z rzędu są u zdrowej osoby tak samo prawdopodobne jak jeden.
Pierwszy test myli się z szansą 1/20. Jeśli się pomylił, drugi myli się u tej osoby z pewnością, czyli z szansą 1. Iloczyn: 1/20 razy 1 daje 1/20 — tyle samo co przy jednym teście.

Dwa fałszywe alarmy z rzędu zdarzają się częściej, niż wychodzi z mnożenia szans obu testów.
Prawdziwa szansa na dwa fałszywe alarmy to 1 na 20, bo druga pomyłka jest pewna po pierwszej. A 400 podzielone przez 20 daje 20, więc takie przypadki są dwadzieścia razy częstsze, niż pokazywałby iloczyn dla zdarzeń niezależnych.

Z przesłanek nie wynika, żeby wyniki dwóch testów u tej samej zdrowej osoby zależały od siebie.
Zależą: według drugiej przesłanki pomyłka bierze się z cechy skóry i wraca przy powtórce, więc po pierwszej pomyłce druga jest pewna. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają uznać testów za zależne, a właśnie to z nich wynika.

Po pierwszej pomyłce testu u zdrowej osoby druga pomyłka jest równie mało prawdopodobna co pierwsza.
Druga przesłanka mówi, że po pierwszej pomyłce test pomyli się u tej osoby znowu, czyli druga pomyłka jest pewna, a nie mało prawdopodobna. Ten wniosek jej zaprzecza.

Dwa fałszywe alarmy z rzędu u zdrowej osoby zdarzają się rzadziej niż raz na 400 osób.
Kierunek jest odwrócony: zależność pomyłek podnosi szansę dwóch alarmów z 1/400 do 1/20, więc zdarzają się one dwadzieścia razy częściej, a nie rzadziej niż raz na 400 osób.

Brak dowodu nie jest dowodem braku — ale nie jest też dowodem istnienia. Z niewiedzy nie wynika żadna z dwóch stron, choć w sporach wyciąga się z niej raz jedną, raz drugą. Dokładnie na tym poślizgnął się Arthur Conan Doyle: zlecił ekspertyzę zdjęć z wróżkami, eksperci nie wykazali fałszerstwa, a on ogłosił to publicznie jako dowód istnienia zjawisk nadprzyrodzonych. Dziewczynki po latach przyznały, że zdjęcia podrobiły wycinankami z książki. Uwaga na różnicę: „nikt nie sprawdzał" to zupełnie inna sytuacja niż „sprawdzano wielokrotnie i nic nie znaleziono" — to drugie jest już przesłanką.

Ten suplement prawdopodobnie działa.
Nikt nie wykazał, że nie działa — ale nikt nie wykazał też, że działa. Z tego, że nikt nie sprawdzał, nie wynika nic o skuteczności: niewiedza nie przechyla się na żadną stronę.

Ten suplement nie działa.
Dokładnie ten sam błąd, tylko w drugą stronę: z tego, że nikt nie sprawdzał, nie wynika ani skuteczność, ani jej brak. Niesprawdzony suplement może działać — po prostu nie wiemy.

Nie wiemy, czy ten suplement działa.
Nikt nie sprawdził tego w badaniu, więc to jedyne, co z tej przesłanki wynika — i warto umieć na tym poprzestać.

Nie da się sprawdzić, czy ten suplement działa.
Przesłanka mówi, że nikt nie sprawdzał — a nie, że sprawdzić się nie da. To zwykła teza, którą rozstrzyga badanie z grupą kontrolną.

Gdyby suplement działał bardzo mocno, ktoś zauważyłby to już bez badania.
Brzmi rozsądnie, ale przesłanka nic o tym nie mówi, a założenie jest wątpliwe: silne efekty bywają niezauważane latami właśnie dlatego, że nikt ich nie zmierzył.

Brak badań sam o czymś świadczy: gdyby producent miał dobre wyniki, pewnie by je pokazał.
Niegłupie i często trafne, ale opiera się na wiedzy o tym, jak działa rynek, a nie na podanej przesłance. Poza tym badania są drogie i małej firmy może na nie nie być stać.

Milczenie czujnika znaczy tyle, ile potrafi on usłyszeć. Czujnik z kuchni działał, a sprawny czujnik dzwoni, gdy jest dym, więc jego milczenie jest dowodem: w kuchni dymu nie było. Czujnik z piwnicy nie miał baterii od tygodnia i nie mógł zadzwonić niezależnie od tego, czy dym był, czy go nie było. Jego milczenie wygląda tak samo jak milczenie kuchennego, ale nic nie znaczy. Takie rozróżnienie jest sednem argumentu z niewiedzy: brak sygnału jest dowodem tylko wtedy, gdy sygnał byłby widoczny, gdyby coś się działo. Gdy wiemy, że tak nie było, nie mamy ani dowodu, że dymu nie było, ani dowodu, że był. Dlatego zarówno „nie było dymu", jak i „był dym" są w piwnicy zdaniami bez oparcia.

W nocy w domu Pawła nie było dymu.
Czujnik w piwnicy nie miał baterii od tygodnia, więc nie mógł zadzwonić, nawet gdyby był dym. Jego milczenie nie pokazuje, że w piwnicy dymu nie było, a bez tego nie wynika, że nie było go w całym domu. Wniosek bierze brak sygnału za dowód braku zdarzenia.

Dym, jeśli w ogóle pojawił się tej nocy w domu, nie dotarł do kuchni.
Sprawny czujnik dzwoni, gdy jest dym, a czujnik z kuchni działał i milczał. Odwracamy zdanie: brak dzwonka oznacza brak dymu. To jedyne miejsce, w którym milczenie jest dowodem.

Z milczenia czujnika z piwnicy nie wynika nic o tym, czy w piwnicy był dym.
Czujnik bez baterii milczy zarówno wtedy, gdy dym jest, jak i gdy go nie ma, więc jego milczenie nie pozwala odróżnić jednego od drugiego. Z niego samego nie wynika nic o dymie w piwnicy.

W piwnicy w nocy był dym, którego czujnik nie wykrył.
To brak dowodu wzięty za dowód w drugą stronę. To, że czujnik milczał i nikt nie wykazał, że dymu nie było, nie znaczy, że dym był. Dla piwnicy przesłanki nie rozstrzygają niczego.

Ktoś wyjął baterię z czujnika w piwnicy celowo, żeby nie piszczał.
Celowe wyjęcie baterii i jego powód to dopisane fakty. Przesłanki mówią tylko, że baterii nie było od tygodnia, i nic o powodzie. Wniosek buduje całą historię na pustym miejscu.

Przesłanki nie przesądzają, że tej nocy mógł zadzwonić tylko jeden z dwóch czujników w domu Pawła.
Wynika: czujnik z kuchni był sprawny, a w czujniku z piwnicy od tygodnia nie było baterii, więc zadzwonić mógł tylko ten z kuchni. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają tego ustalić.

Wujek zasłania się zdaniem „nikt nie wykazał, że go tam nie ma", ale to właśnie ono wymaga dowodu. Brak dowodu, że czegoś nie ma, nie jest dowodem, że to jest. Z drugiej strony wędkarze też mają niewiele: przeszukali jedną zatokę z dwunastu, a w pozostałych jedenastu wędkarze nawet nie zajrzeli. Brak węża w jednej zatoce nie mówi nic o reszcie. Dlatego nie wolno tu ogłosić ani „wąż jest", ani „węża nie ma": pierwsze opiera się na tym, że nikt nie obalił wuja, drugie na bardzo małej części poszukiwań. Inaczej byłoby, gdyby przeszukano całe jezioro wieloma metodami i nic nie znaleziono; wtedy brak byłby już przesłanką przeciw wężowi. Tu po prostu sprawdzono za mało miejsc, by o czymkolwiek rozstrzygać.

Wujek Staszek ma rację: w jeziorze Zielonym żyje wielki wąż wodny.
To, że nikt nie wykazał nieistnienia węża, nie jest dowodem jego istnienia. W jeziorze przeszukano jedną zatokę z dwunastu, więc zwykły brak odpowiedzi nie daje wujowi racji.

W jedenastu z dwunastu zatok jeziora wędkarze nie szukali węża.
Wędkarze zarzucali sieci w jednej z dwunastu zatok. Dwanaście minus jeden to jedenaście zatok, w których nie szukali. Wniosek wymaga odjęcia i pokazuje, jak wiele zostało niesprawdzone.

Pusta sieć w jednej zatoce mówi o tej zatoce, a o pozostałych jedenastu nie mówi nic.
Pusta sieć w jednej zatoce mówi o tej zatoce, nie o pozostałych jedenastu. Z braku węża tam nie wynika, że nie ma go gdzie indziej. To osłabienie tezy „węża nie ma" do tego, co wolno powiedzieć.

W jeziorze Zielonym nie żyje wielki wąż wodny.
To ten sam błąd w drugą stronę. Trzy dni szukania w jednej zatoce z dwunastu to za mało, by uznać, że węża nie ma w całym jeziorze. Brak dowodu istnienia nie jest dowodem nieistnienia.

Wąż wędruje między zatokami i omija sieci wędkarzy.
Wędrówki węża nie ma w przesłankach. To wymyślone wyjaśnienie, dlaczego sieci nic nie złowiły, i nie da się go z nich wyprowadzić. Wniosek broni wuja dopisaną historią.

Przesłanki nie przesądzają, że przez wszystkie trzy dni wędkarze szukali w tej samej zatoce.
Wynika: sieci zarzucano tylko w jednej zatoce, więc przez wszystkie trzy dni była to ta sama zatoka. Zdanie udaje, że nie da się tego ustalić, choć wynika wprost z liczby zatok, w których szukano.

Brak zaprzeczenia jest dowodem tylko wtedy, gdy ktoś, kto mógłby zaprzeczyć, wiedział o sprawie. Dyrektor przez cały tydzień był poza zasięgiem i nikt nie powiedział mu o plotce, więc jego milczenie ma proste wyjaśnienie, które nie ma nic wspólnego z prawdziwością plotki: po prostu jej nie znał. Gdyby plotka była fałszywa, a dyrektor siedział w gabinecie i o niej słyszał, jego milczenie miałoby znaczenie. W tej wersji milczałby tak samo bez względu na to, jak jest naprawdę. To klasyczny argument z niewiedzy: „nikt nie zaprzeczył, więc to prawda". Odwrotne zdanie, „nie potwierdził, więc to fałsz", jest równie słabe z tej samej przyczyny. Z przesłanek nie dowiadujemy się nic o tym, czy dyrektor naprawdę odejdzie.

Plotka o emeryturze dyrektora jest prawdziwa.
Jedyną podstawą byłby brak zaprzeczenia, ale dyrektor nie mógł zaprzeczyć plotce, której nie znał, więc ten brak nie jest dowodem jej prawdziwości. To klasyczny argument z niewiedzy: „nikt nie obalił, więc prawda”.

Dyrektor nie zaprzeczył plotce, bo jej nie znał, więc jego milczenie nie świadczy o tym, że jest prawdziwa.
Dyrektor był na wyjeździe bez zasięgu i nikt nie powiedział mu o plotce, więc nie mógł jej zaprzeczyć. Jego milczenie ma proste wyjaśnienie, które nie dotyczy prawdziwości plotki. Wniosek składa dwie przesłanki.

Z milczenia dyrektora nie wynika ani to, że plotka jest prawdziwa, ani to, że jest fałszywa.
Dyrektor milczałby tak samo, gdyby plotka była prawdziwa, i gdyby była fałszywa, bo jej nie znał. Z milczenia nie da się więc odczytać żadnej z odpowiedzi. To zdanie jest wnioskiem neutralnym i dokładnie tyle wynika.

Plotka o emeryturze dyrektora jest fałszywa.
To ten sam błąd w drugą stronę. Dyrektor nie potwierdził plotki, bo jej nie znał, a nie dlatego, że jest fałszywa. Brak potwierdzenia nic o jej prawdziwości nie mówi.

Dyrektor nie zaprzeczył plotce, bo wie, że jest prawdziwa, i woli ją przemilczeć.
Przesłanki mówią, że nikt nie powiedział dyrektorowi o plotce, więc nie mógł wiedzieć, że jest prawdziwa, ani jej przemilczać. Wniosek zaprzecza przesłance i zakłada coś, czego dyrektor nie mógł wiedzieć.

Z przesłanek nie wynika, żeby dyrektor był na wyjeździe bez zasięgu dłużej niż cztery dni.
Wynika: wyjazd trwał od poniedziałku do piątku, czyli pięć dni, a pięć to więcej niż cztery. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają policzyć nawet długości wyjazdu.

Zdanie bez okolicznika pewności czyta się tak, jakby ten okolicznik brzmiał „niemal na pewno". Nikt nie mówi „w tej restauracji być może czasem zdarza się nieświeże jedzenie" — mówi się „tam zatruwają", a słuchacz słyszy pewność, której mówiący wcale nie miał. Jedna obserwacja u jednej osoby zgadza się z wieloma różnymi historiami: zepsuta potrawa, wirus złapany dzień wcześniej, zbyt duża porcja, stres. Dopóki nie wiemy, która z nich zaszła, wolno powiedzieć, że coś tam mogło być nie tak — i tyle. Różnica między „zatruwają" a „może coś było nie tak" nie jest uprzejmością ani ostrożnością na pokaz: to różnica między zdaniem, które z przesłanki wynika, a zdaniem, które z niej nie wynika.

W tej restauracji zatruwają jedzeniem.
Z jednego obiadu i jednego bólu brzucha wolno powiedzieć najwyżej, że coś tam mogło być nie tak. To zdanie brzmi jak stwierdzony fakt o restauracji, a brzuch mógł boleć z zupełnie innego powodu.

Możliwe, że to jedzenie z tej restauracji mi zaszkodziło.
Ten wniosek mówi dokładnie tyle, ile daje jedna obserwacja: że to możliwe.

Z tego jednego wieczoru nie wynika, że przyczyną było jedzenie z tej restauracji.
Jedna obserwacja zgadza się z wieloma historiami naraz — z jedzeniem, z wirusem, z czymś zupełnie innym — więc przyczyny nie wskazuje.

O tym przesłanki milczą: czy obiad w tej restauracji zjadłem przed tym, jak rozbolał mnie brzuch.
Wynika: obiad był w ciągu dnia, a brzuch bolał wieczorem, więc obiad poprzedził ból. Sama kolejność w czasie nie jest jednak przyczyną — dlatego z jednego wieczoru niewiele wolno wnioskować.

Kto zje tam obiad, ten najprawdopodobniej też rozchoruje się na brzuch.
To ten sam błąd podkręcony do końca: z jednego przypadku robi regułę obowiązującą każdego gościa.

Nagranie pokazuje, że Janek był przy stojaku i dotykał kłódki — i to jest wszystko, co z niego wynika. Zdanie „Janek ukradł rower" bez żadnego „możliwe" czy „być może" czyta się jak ustalenie, a to dopiero jedna z kilku historii, które pasują do nagrania. Kamera wyłączyła się o 13:45, a rower mógł zniknąć w ciągu następnych czterdziestu pięciu minut, gdy obok stojaka kręciło się wielu uczniów. Każdy z nich miał taką samą okazję jak Janek, tylko my nie widzimy ich rąk. Obecność przy miejscu zdarzenia zawęża krąg podejrzanych, ale tutaj nie zawęża go do jednej osoby. Tak działa pominięty okolicznik pewności: słuchacz słyszy „na pewno", choć mówiący miał prawo powiedzieć najwyżej „możliwe". Z poszlaki robi się wtedy wyrok, a oskarżenie o kradzież trudno potem cofnąć.

To Janek ukradł rower Tomka sprzed szkoły.
Nagranie pokazuje Janka z ręką na kłódce o 13:40, ale kamera wyłączyła się o 13:45, a rower zniknął w ciągu następnych czterdziestu minut. Z tego wynika, że Janek mógł zabrać rower — nie, że go zabrał. Zdanie bez okolicznika brzmi jak ustalenie, którego nie mamy.

Nagranie nie wyklucza, że rower zabrał ktoś inny niż Janek.
To składa dwie przesłanki: kamera przestała nagrywać o 13:45, a do 14:30 przy stojaku przechodziło wielu uczniów. Skoro rower mógł zniknąć w tym czasie, ktoś inny mógł go zabrać, i nagranie tego nie wyklucza.

Z nagrania nie wynika, że Janek był ostatnią osobą, która stała przy rowerze Tomka.
Janek był przy stojaku o 13:40, a kamera wyłączyła się o 13:45 i przez następne czterdzieści pięć minut nikogo nie widzimy. Nie wiemy więc, kto stał przy rowerze po nim. To zdanie mówi tylko tyle, ile pozwalają przesłanki.

Przesłanki nie przesądzają, że Janek w ogóle miał okazję zabrać ten rower.
Okazję Janek miał: o 13:30 rower jeszcze stał, o 13:40 Janek trzymał rękę na jego kłódce, a do 14:30 rower zniknął. To za mało, żeby powiedzieć „zabrał", ale wystarczy, żeby powiedzieć „mógł zabrać". Udawanie, że z nagrania nie wynika nic, jest tak samo nietrafne jak oskarżenie.

Janek w środę w ogóle nie podszedł do stojaka, przy którym stał rower Tomka.
Kamera nagrała Janka przy stojaku o 13:40, więc ten wniosek zaprzecza przesłance. Nie jest to zbyt mocny wniosek, tylko fałszywy.

Rower zabrał ktoś inny, a Janek tylko przypadkiem stał przy stojaku.
To ten sam błąd w drugą stronę. Nagranie nie wyklucza kogoś innego, ale nie wyklucza też Janka — ręka na kłódce o 13:40 jest poszlaką przeciwko niemu. Prawdziwy stan wiedzy to „nie wiemy, kto".

Prognoza „60% szans na deszcz" jest wypowiedzią o niepewności: mówi, że deszcz jest prawdopodobny, ale wprost zostawia miejsce na sucho. Gdy przekazuje się ją dalej jako „w sobotę będzie padać", okolicznik pewności znika, a słuchacz słyszy zapowiedź pewną. Druga przesłanka pokazuje, że 60% to nie ozdoba: w takich dniach deszcz faktycznie padał mniej więcej w sześciu na dziesięć, więc w czterech na dziesięć było sucho. Z tych dwóch zdań wynika, że deszcz jest bardziej prawdopodobny niż jego brak, i nic więcej. Uczciwy skrót prognozy to „raczej będzie padać", a nie „będzie padać". Różnica wygląda na drobną, dopóki ktoś nie odwoła z jej powodu wycieczki, która w czterech przypadkach na dziesięć udałaby się w słońcu.

W sobotę będzie padać deszcz.
Prognoza mówi o szansie 60%, więc zostaje 40% na suchą sobotę. „Będzie padać" to zdanie o pewności, a przesłanki dają tylko „raczej będzie padać".

Deszcz w sobotę jest bardziej prawdopodobny niż jego brak, ale nie jest pewny.
Skoro szansa na deszcz to 60%, to szansa na brak deszczu to 40%. Pierwsza jest większa, więc deszcz jest bardziej prawdopodobny, a druga nie wynosi zera, więc nie jest pewny. Ten wniosek mówi dokładnie tyle.

Sucha sobota jest możliwa: według prognozy ma około 4 szans na 10.
Szansa na deszcz to 60%, więc do pewności brakuje 40%: przy sześciu deszczowych dniach na dziesięć cztery są suche, czyli „około 4 szans na 10" jest wprost policzone. Sucha sobota jest zatem możliwa, a „na pewno będzie padać" wynikałoby dopiero przy 100%.

Z prognozy nie wynika, żeby szansa na deszcz w sobotę była o 20 punktów procentowych większa niż na suchą pogodę.
To nieprawda: szansa na deszcz to 60%, na suchą pogodę 40%, a 60 minus 40 to 20 punktów procentowych. Prognoza nie jest pewna, ale nie jest też bezwartościowa — da się z niej odczytać, o ile deszcz jest bardziej prawdopodobny niż jego brak.

Przy szansie na deszcz równej 60% bardziej prawdopodobna jest sucha sobota.
Kierunek jest odwrócony. Sucha sobota ma szansę 40%, deszczowa 60%, więc bardziej prawdopodobny jest deszcz, choć nie pewny.

W sobotę deszcz będzie padał przez 60% doby, czyli przez około 14 godzin.
60% mówi, jak bardzo prawdopodobne jest, że deszcz w ogóle wystąpi, a nie jak długo będzie padać. To inne pytanie, na które przesłanki nie odpowiadają.

Sondaż pyta tylko część mieszkańców, więc jego wynik jest oszacowaniem, a nie odczytem. Autorzy sami podają, jak bardzo mogą się mylić: o 3 punkty w każdą stronę. Zielonym można więc przypisać prawdziwe poparcie od 31% do 37%, Niebieskim od 28% do 34%. Te przedziały nachodzą na siebie, a w skrajnym układzie Zieloni mają 31%, a Niebiescy 34%, czyli prowadzą ci drudzy. Zdanie „Zieloni mają więcej zwolenników" bez okolicznika czyta się jako pewne, choć wynika z niego co najwyżej „w tym sondażu wypadli lepiej i prawdopodobnie mają niewielką przewagę". Różnica trzech punktów jest dokładnie tak duża jak margines błędu jednego wyniku, więc nie wystarcza, żeby ogłosić prowadzenie.

W mieście Zieloni prowadzą nad Niebieskimi o trzy punkty procentowe.
Różnica 34% do 31% to 3 punkty w sondażu, czyli tyle, ile wynosi możliwy błąd każdego z wyników. Prawdziwy stan w mieście mógłby być inny, nawet odwrotny, więc „prowadzą o trzy punkty" jest za mocnym zdaniem; wolno powiedzieć „w sondażu wypadli lepiej".

Przy takich błędach pomiaru Niebiescy mogą w rzeczywistości mieć więcej zwolenników niż Zieloni.
Rachunek: Zieloni 34% mogą naprawdę mieć 31%, Niebiescy 31% mogą naprawdę mieć 34%. W takim układzie prowadzą Niebiescy, a przesłanki go nie wykluczają. Ten wniosek jest o możliwości i dokładnie tyle z nich wynika.

Z sondażu nie wynika, że w mieście Zieloni mają więcej zwolenników; przewaga w sondażu jest równa marginesowi błędu.
Wynik sondażu to oszacowanie obarczone błędem do 3 punktów, a przewaga ma właśnie 3 punkty. Wolno więc powiedzieć, jak wypadły partie w sondażu, ale nie, jak jest w całym mieście.

Przesłanki nie przesądzają, że Zieloni i Niebiescy dostali w sondażu razem ponad połowę poparcia.
Wynika wprost z dodawania: 34% plus 31% to 65%, czyli więcej niż połowa. To suma wyników sondażu, a nie stan rzeczy w całym mieście — ale w samym sondażu da się ją podać dokładnie.

W sondażu Niebiescy dostali więcej poparcia niż Zieloni, choć różnica była mała.
Sondaż dał Zielonym 34%, a Niebieskim 31%, więc to zdanie zaprzecza przesłance. Co innego powiedzieć, że w rzeczywistości mogło być odwrotnie, a co innego, że w sondażu było.

Zdanie „kobiety wypadają w tym teście lepiej" bez okolicznika częstotliwości czyta się jako „zazwyczaj". Tymczasem dwa punkty różnicy przy rozsypaniu wyników od 20 do 80 znaczą, że grupy niemal całkowicie się pokrywają: weź losową kobietę i losowego mężczyznę, i prawdopodobieństwo, że to ona wypadnie lepiej, jest ledwie wyższe od połowy. Różnica jest prawdziwa i jednocześnie bezużyteczna do przewidywania czegokolwiek o konkretnej osobie. To ten sam mechanizm, który w rozdziale ósmym pojawia się jako różnica średnich przenoszona na pojedynczy przypadek — tu widać go od strony języka: brakujące słowo „średnio" albo „nieco częściej" zamienia słaby efekt statystyczny w regułę.

Kobiety są lepsze w zadaniach wymagających uwagi.
Dwa punkty różnicy przy rozsypaniu od 20 do 80 znaczą, że grupy niemal się pokrywają. Zdanie brzmi jak cecha kobiet, a opisuje ledwie przesuniętą średnią.

Średni wynik kobiet w tym teście był wyższy niż średni wynik mężczyzn.
To przesłanka powiedziana wprost — o średnich, a nie o osobach.

Jeśli do zadania wymagającego uwagi mam wybrać Annę albo Piotra, lepiej wybrać Annę.
Przy dwóch punktach różnicy i tak szerokim rozrzucie wiedza o płci prawie nic nie mówi o tym, kto wypadnie lepiej. Decyzja o Annie i Piotrze wymaga danych o Annie i Piotrze.

Między kobietami i mężczyznami nie ma w tym teście żadnej różnicy.
Różnica średnich jest w przesłankach wprost. Ten wniosek jej zaprzecza, a nie tylko poprawia jej siłę.

Losowa kobieta wypadnie lepiej niewiele częściej niż w połowie przypadków.
Tak wygląda to samo zdanie z przywróconym okolicznikiem częstotliwości — i dopiero wtedy wynika z danych.

Zdanie „ten dentysta się spóźnia" bez okolicznika częstotliwości czyta się jako „zwykle". Tymczasem z dwunastu wizyt dwie miały duże spóźnienie, a dziesięć nie: pięć razy więcej wizyt bez niego niż z nim. Spóźnienie jest tu zdarzeniem rzadszym, jednym na sześć wizyt, a nie regułą. Zdarzyło się naprawdę, więc zdanie „czasem się spóźnia" jest prawdziwe, a „spóźnia się" — nie. Obie wersje brzmią niemal tak samo, ale pierwsza opisuje to, co widzieliśmy, a druga to, czego byśmy się spodziewali po kolejnej wizycie. Ktoś, kto uwierzy w drugą, przyjdzie następnym razem pół godziny później albo zmieni lekarza, choć w pięciu przypadkach na sześć czekanie by go ominęło. Brakujące słowo „czasem" zamienia wyjątek w cechę.

Ten dentysta spóźnia się na wizyty o ponad pół godziny i trzeba na niego czekać.
Spóźnienie zdarzyło się podczas dwóch wizyt z dwunastu, a w dziesięciu go nie było. Zdanie „spóźnia się" brzmi jak opis tego, co dzieje się zwykle, a tu zdarzało się rzadko.

Wizyt bez dużego spóźnienia było u tego dentysty pięć razy więcej niż tych, na których się spóźnił.
Z dwunastu wizyt dwie miały spóźnienie, więc dziesięć go nie miało. Dziesięć do dwóch to pięć do jednego. Wniosek wymaga odjęcia i porównania, i nic nie dodaje do przesłanek.

Duże spóźnienie zdarzyło się raz na sześć wizyt, a to nie jest coś, co u tego dentysty zdarza się zwykle.
Dwa na dwanaście to jedna wizyta na sześć, czyli mniejszość. Zwykłe zachowanie to punktualne przyjęcie, a duże spóźnienie jest wyjątkiem. Wniosek odrzuca właśnie „zwykle", które sugerowało zdanie bez okolicznika.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że dentysta spóźnił się w ubiegłym roku łącznie o ponad godzinę.
Wynika: dwa razy lekarz spóźnił się o ponad pół godziny, a dwa razy po ponad pół godziny to łącznie ponad godzina. Zdanie udaje, że prosty rachunek na przesłankach jest niemożliwy.

W ubiegłym roku dentysta ani razu nie spóźnił się na wizytę o ponad pół godziny.
Przesłanka mówi, że lekarz spóźnił się o ponad pół godziny dwa razy. To zdanie zaprzecza faktowi, a nie tylko poprawia jego siłę.

Dentysta przyjmuje punktualnie, a te dwa spóźnienia były wyłącznie dziełem przypadku.
Przesłanki nie mówią nic o przyczynie spóźnień ani o tym, że były przypadkowe. Wiemy, jak często się zdarzały, a nie dlaczego, więc to zdanie jest równie śmiałe jak „spóźnia się".

Różnica jest prawdziwa: w grupie z lampką okulary nosi sześć dzieci na sto, w grupie bez lampki pięć na sto. Ale to jedno dziecko na sto. Zdanie „dzieci śpiące z lampką mają wady wzroku" bez okolicznika częstotliwości czyta się tak, jakby tak było zazwyczaj, a tymczasem ponad dziewięć na dziesięć dzieci z lampką okularów w ogóle nie nosi. Liczby przy grupie dziesięciotysięcznej pokazują to wyraźniej: sześćset dzieci z okularami wobec pięciuset, czyli sto więcej, a dziewięć tysięcy czterysta dzieci z lampką bez okularów. Efekt istnieje, tylko jest słaby i dotyczy niewielkiej części dzieci. Dobre zdanie brzmi „dzieci śpiące z lampką nosiły okulary nieco częściej" i zawiera słowo, które decyduje o jego sile.

Dzieci, które śpią z lampką nocną, mają wady wzroku i noszą okulary.
Okulary nosi 6 dzieci na 100, więc 94 nie nosi. Zdanie bez okolicznika brzmi jak cecha wszystkich dzieci śpiących z lampką, a opisuje drobną przewagę w niewielkiej grupie.

Z tych liczb nie wynika, że dziecko śpiące z lampką będzie nosić okulary: ponad dziewięć na dziesięć ich nie nosi.
Skoro okulary nosi 6 dzieci na 100, to 94 na 100 ich nie nosi — a to ponad dziewięć na dziesięć. Wniosek wymaga odjęcia od stu i odrzuca właśnie to, co sugeruje zdanie bez okolicznika.

W grupie z lampką okulary nosiło o 100 dzieci więcej niż w grupie bez lampki.
Sześć na sto z dziesięciu tysięcy to 600 dzieci, pięć na sto to 500, więc różnica to 100 dzieci, czyli jedno na sto. Wniosek wymaga przeliczenia wielkości grup i pokazuje, jak niewielka jest różnica w stosunku do całości.

Przesłanki nie przesądzają, że w grupie bez lampki ponad dziewięć tysięcy dzieci nie nosiło okularów.
Wynika: okulary nosi 5 dzieci na 100, czyli w grupie dziesięciu tysięcy 500 dzieci, więc 9500 ich nie nosi, a to ponad dziewięć tysięcy. To zwykłe dopełnienie do całej grupy; zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają go wykonać.

Okulary noszą tak samo często dzieci śpiące z lampką, jak i te śpiące w ciemności.
W przesłankach jest 6 na 100 przeciw 5 na 100, więc częstości nie są takie same. Ten wniosek zaprzecza przesłance zamiast poprawić siłę zdania.

Dzieci śpiące w ciemności noszą okulary częściej niż te, które śpią z lampką.
Kierunek jest odwrócony: 6 na 100 dotyczy dzieci z lampką, 5 na 100 dzieci śpiących w ciemności. Częściej okulary noszą te pierwsze, choć nieznacznie.

Nowa trasa jest szybsza średnio o 40 sekund, a przejazd trwa mniej więcej 25 minut, więc oszczędność to około 2,7% czasu. Tymczasem czas przejazdu z dnia na dzień waha się o 17 minut, niezależnie od trasy. Przedziały „przed" i „po" pokrywają się niemal całkowicie, a przesunięcie średniej jest przy nich nie do zauważenia w pojedynczym dniu. Zdanie „pasażerowie dojeżdżają wyraźnie szybciej" bez okolicznika czyta się jako „zazwyczaj" albo „każdego dnia". Dopiero „średnio o czterdzieści sekund" mówi, jak słabym efektem jest ta zmiana. Pasażer, który wsiądzie jutro, nie ma podstaw, żeby spodziewać się szybszego dnia, bo to, czy będzie szybciej, rozstrzygnie pogoda i korki, a nie trasa. To ten sam mechanizm, który w rozdziale ósmym pojawia się jako przenoszenie różnicy średnich na pojedynczy przypadek.

Dzięki nowej trasie pasażerowie dojeżdżają z A do B wyraźnie szybciej niż przedtem.
Średnia różnica to 40 sekund, a dzień do dnia czas zmienia się o kilkanaście minut. „Wyraźnie szybciej" opisuje efekt, którego pasażer nie zauważy w pojedynczym dniu.

Zysk czasu to 40 sekund, czyli mniej niż 3% dawnego czasu przejazdu.
Dawny czas to 25 minut, czyli 1500 sekund, a zysk to 25:00 minus 24:20, czyli 40 sekund. Czterdzieści na 1500 to około 2,7%, a więc mniej niż 3%. Wniosek wymaga odjęcia i podzielenia, nic spoza liczb.

Przesłanki nie przesądzają, że w dowolny dzień przejazd nową trasą będzie krótszy niż starą.
Przed zmianą i po niej czas przejazdu zmieniał się w tym samym przedziale, od 18 do 35 minut, a średnie dzieli tylko 40 sekund. Nic więc nie gwarantuje, że konkretny dzień na nowej trasie będzie szybszy od konkretnego dnia na starej.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że zdarzały się dni, gdy autobus jechał ponad pół godziny.
Wynika: czas przejazdu zmieniał się od 18 do 35 minut, a 35 minut to więcej niż pół godziny, więc takie dni były. Zdanie udaje, że rozrzut czasów, który widać w przesłankach, nic nie mówi.

Średni czas przejazdu po zmianie trasy jest taki sam jak przed zmianą.
Średnie to 24 minuty i 20 sekund oraz 25 minut, więc nie są równe. Wniosek zaprzecza przesłance, zamiast zmniejszyć jej wagę.

Nowa trasa jest wolniejsza od dawnej.
Średni czas po zmianie jest niższy niż przed nią, więc trasa nie jest wolniejsza. Nawet przejazdy trwające do 35 minut nie zmieniają tego obrazu, bo zdarzały się też przed zmianą. Wniosek odwraca kierunek, który pokazują średnie.

Jeden tydzień to jedna próbka, a z jednej próbki nie da się odróżnić umiejętności od korzystnego losowania. Trzy duże umowy mogły wziąć się z talentu, ale równie dobrze z tego, że dostał listę kontaktów przygotowywaną od pół roku przez kogoś innego, albo że trafił na trzech klientów, którzy i tak byli zdecydowani. Wniosek „mamy najlepszego sprzedawcę w branży" wymagałby porównania z branżą przez dłuższy czas. Co ciekawe, następny tydzień tego handlowca będzie niemal na pewno słabszy — nie dlatego, że się zepsuje, ale z tego samego powodu, dla którego skrajne wyniki cofają się w stronę środka.

Mamy najlepszego sprzedawcę w branży.
Jeden tydzień nie pozwala odróżnić talentu od korzystnego trafu, a o całej branży nie wiemy z tych przesłanek niczego.

Taki pierwszy tydzień jest u zupełnie nieporadnego handlowca bardzo mało prawdopodobny.
Trzy duże umowy w tygodniu to słaba, ale prawdziwa poszlaka — u kogoś całkiem nieporadnego taki start byłby bardzo mało prawdopodobny.

Z pierwszego tygodnia nie wynika, że ten handlowiec jest lepszy od pozostałych.
Jeden tydzień nie pozwala odróżnić umiejętności od korzystnego trafu: oba wyjaśnienia dają ten sam wynik, trzy umowy.

W kolejnym tygodniu zamknie kolejne trzy duże umowy.
Skrajnie dobry tydzień zwykle nie powtarza się dokładnie, bo w dużej mierze zawdzięcza wynik przypadkowi, a przypadek się nie powtarza na zawołanie.

Z pierwszego tygodnia nie wynika o tym handlowcu nic.
Wynika słaba, ale prawdziwa poszlaka: ten start jest mało prawdopodobny u kogoś zupełnie nieporadnego. „Nic nie wynika" myli ostrożność z brakiem wniosku.

Jedno zdarzenie jest faktem, ale nie jest trendem ani cechą człowieka. Pan Zbyszek mógł nie zauważyć Basi, śpieszyć się, mieć w głowie coś zupełnie innego, a mógł też naprawdę się na nią obrazić — z jednego poranka nie da się tego rozstrzygnąć, bo wszystkie te wersje dają dokładnie taki sam obraz: sąsiad przechodzi i nic nie mówi. Wniosek „obraził się" albo „zmienił się i będzie mnie ignorować" zamienia jedną obserwację w ocenę osoby i prognozę na przyszłość. Uczciwie można powiedzieć jedno: dziś zachował się inaczej niż przez ostatnie dwa lata. Druga szala wagi też ma znaczenie: dwa lata powitań to bardzo wiele wcześniejszych obserwacji, więc jedno wyjątkowe minięcie trzeba położyć obok nich, a nie zamiast nich.

Pan Zbyszek jest na Basię obrażony.
Obraza to jedna z wielu historii pasujących do jednego poranka. Roztargnienie, pośpiech albo to, że Basi po prostu nie zauważył, wyglądają z zewnątrz tak samo.

Dziś pan Zbyszek zachował się inaczej niż zwykle, ale z jednego poranka nie wiadomo, dlaczego.
Przesłanki ustalają różnicę — przez dwa lata zawsze się witał, dziś nie — ale nie jej powód. Wszystkie wyjaśnienia dają ten sam obraz jednego poranka.

Dwa lata powitań to więcej obserwacji niż jedno minięcie, więc lepiej pokazują, jak pan Zbyszek zwykle traktuje Basię.
Dwa lata spotkań to znacznie szersza próbka niż jeden poranek. Jedno odstępstwo trzeba położyć obok nich, a nie zamiast nich — to one mówią, jak jest zwykle.

Pan Zbyszek tego ranka po prostu myślał o czymś innym i w ogóle nie zauważył, że mija Basię.
To równie niepoparte jak obraza, tylko łagodniejsze. Przesłanki nie mówią, czy pan Zbyszek zauważył Basię, więc ta wersja jest jedną z możliwych, a nie wynikiem.

Przesłanki nie przesądzają, że pan Zbyszek witał się z Basią przez ponad rok.
Wynika: przez dwa lata zawsze się z nią witał, a dwa lata to więcej niż rok. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają nawet tego ustalić.

Jedna usterka jednego egzemplarza jest słabą próbką całej marki. Przyczyn takiego wyłączenia może być wiele: wada akurat tego telefonu, przypadkowy błąd oprogramowania, który zdarza się każdej marce, uderzenie, chwilowy kłopot z baterią. Żeby powiedzieć coś o marce, potrzeba wielu telefonów i porównania z innymi markami. Tu mamy jedno zdarzenie na tle dwóch tygodni bezawaryjnej pracy, więc nawet o samym egzemplarzu wolno powiedzieć niewiele: że raz zawiódł. Wniosek „Lumo robi felerne telefony" bierze jedno zdarzenie i zamienia je w cechę producenta, a zdanie „ten telefon się zepsuje" robi z niego przepowiednię. Z przesłanek wynika tylko stosunek: jeden incydent na dwa tygodnie spokojnej pracy.

Telefony marki Lumo są felerne.
Jeden egzemplarz to próbka o liczbie jeden. Przesłanki nie mówią nic o innych telefonach Lumo ani o tym, jak często zawodzą telefony innych marek.

Z jednej awarii jednego telefonu nie wynika, że marka Lumo robi telefony gorsze od innych.
Jeden egzemplarz nie mówi o marce, a przesłanki nie podają, jak zachowują się inne telefony — Lumo ani cudze. Do porównania marek potrzeba wielu sztuk.

Z tej jednej awarii wynika co najwyżej tyle, że ten egzemplarz potrafi się wyłączyć w trakcie rozmowy.
Jedno zdarzenie wystarcza, by pokazać, że coś jest możliwe: ten telefon potrafi się wyłączyć. Nie wystarcza, by powiedzieć, jak często się to zdarza, czy to wada ani co dzieje się z innymi telefonami.

Telefon wyłączył się, bo w pobliżu coś zakłócało sygnał, a sam telefon jest zupełnie sprawny.
Przesłanki nie mówią ani o zakłóceniach, ani o tym, że telefon jest sprawny. To kolejna historia dopasowana do jednego zdarzenia, tak samo niepoparta jak „marka jest felerna".

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że telefon Staszka działał bez zarzutu dłużej niż tydzień.
Wynika: Staszek kupił telefon dwa tygodnie temu, a wyłączył się on dopiero wczoraj, i przez cały ten czas działał bez zarzutu, czyli ponad tydzień. Zdanie udaje, że prosty rachunek na czasie nie wynika z przesłanek.

Brak złych skutków w jednej próbie to nie to samo co brak ryzyka. Pan Adam przejechał skrzyżowanie wtedy, gdy nic nie mogło się wydarzyć: nikt nie jechał z żadnej strony. Taki przejazd nie sprawdza, co by się stało, gdyby ktoś nadjeżdżał, a właśnie w tej sytuacji czerwone światło ma coś chronić. Z jednej próby, w której sprawdzany warunek w ogóle nie wystąpił, nie wyciąga się wniosku o tym warunku. Ta sama zasada działa gdzie indziej: ktoś raz nie zapiął pasów i dojechał cało, ktoś raz zostawił otwarte okno i nic nie zginęło. Wniosek „czerwone światło to tylko sugestia" opiera się na tym, że raz poszło dobrze, a nie na tym, co się dzieje, gdy ktoś jedzie z boku. Wolno powiedzieć najwyżej, że na pustym skrzyżowaniu nocą jedno przejechanie na czerwonym obeszło się bez szkód.

Przejechanie skrzyżowania na czerwonym świetle jest bezpieczne.
Pan Adam przejechał, gdy skrzyżowanie było puste, więc jego przejazd nie mógł pokazać, jak jest, gdy ktoś nadjeżdża. Brak szkody w takiej próbie nie dowodzi bezpieczeństwa.

Pan Adam nie przekonał się, co by się stało, gdyby ktoś nadjeżdżał.
Pan Adam przejechał przez puste skrzyżowanie, więc jego przejazd nie sprawdził jazdy na czerwonym wtedy, gdy ktoś nadjeżdża — a w takiej sytuacji światło ma coś chronić. Czego próba nie obejmuje, tego nie rozstrzyga.

Z tego przejazdu wynika co najwyżej, że na pustym skrzyżowaniu nocą przejechanie na czerwonym obeszło się bez szkód.
To jest ten sam fakt, powiedziany tak szeroko, jak pozwala próba: puste skrzyżowanie, noc, jeden przejazd, brak szkód. Dopiero to zdanie zostaje w zgodzie z tym, co pan Adam naprawdę sprawdził.

Nic się nie stało dlatego, że pan Adam jechał bardzo ostrożnie i znał to skrzyżowanie na pamięć.
Przesłanki nic nie mówią o stylu jazdy pana Adama. Podają inny powód, i to w zupełności wystarczający: skrzyżowanie było puste, więc nie było z kim się zderzyć.

Z przesłanek nie wynika, żeby samo puste skrzyżowanie wystarczyło do tego, że panu Adamowi nic się nie stało.
Wynika: na skrzyżowaniu nikogo nie było, więc nie było z kim się zderzyć, i samo to wystarcza do wyjaśnienia, że nic się nie stało. Zdanie udaje, że przesłanki nie dają takiego wyjaśnienia.

Z jednego udanego przypadku — własnego — buduje się regułę o wszystkich. Błąd ma dwa źródła, które się wzmacniają. Pierwsze: Marek zna dokładnie jedną historię rzucania palenia i jest nią własna. Drugie: ci, którym nie wyszło, nie mówią o tym na głos, więc nawet jego doświadczenie z innymi jest przekrzywione w stronę sukcesów. Zdanie „to kwestia silnej woli" nie jest przy tym opisem — jest oceną tych, którym się nie udało. Uczciwa forma zostawia podmiot na miejscu: „mnie udało się tak, choć z tego, co wiem, większości nie". Ta sama poprawka ratuje dziesiątki zdań zaczynających się od „wystarczy".

Rzucenie palenia to kwestia silnej woli.
Marek wie, jak było u niego, i tylko tyle. Z jednego udanego rzucenia nie wynika, co decyduje u innych — a to zdanie od razu ocenia tych, którym nie wyszło.

Z przypadku Marka nie wynika, co decyduje o rzuceniu palenia u innych ludzi.
Jeden przypadek mówi o jednym człowieku, a nie o tym, jak jest zwykle.

Da się rzucić palenie bez plastrów i tabletek — przynajmniej niektórym.
Jeden przypadek wystarcza, by pokazać, że coś jest możliwe. Nie wystarcza, by pokazać, jak jest zwykle.

Plastry i tabletki na rzucanie palenia są zbędne.
Przesłanki nie mówią o skuteczności plastrów ani słowa. Mówią tylko, że jeden człowiek poradził sobie bez nich.

Przesłanki nie przesądzają, że istnieje osoba, której rzucenie palenia udało się za pierwszym razem.
Przesądzają: Marek rzucił za pierwszym razem, więc taka osoba istnieje. Jeden przypadek wystarcza, by pokazać, że coś jest możliwe — nie wystarcza, by pokazać, jak jest zwykle.

Ula opisuje, co działa u niej, i zdanie „piąta rano to najlepsza pora dla każdego" przerabia tę wiedzę na regułę. Do reguły o wszystkich potrzeba przypadków z różnych stron, a w przesłankach są dwa i rozchodzą się: to, co służy Uli, Piotrowi nie służy. Jeden przypadek, w którym coś nie działa, wystarcza, żeby obalić zdanie „dla każdego"; jeden, w którym działa, nie wystarcza, żeby je udowodnić. Uczciwa forma brzmi więc „mnie to służy" albo „niektórym to służy". Warto zauważyć, że Piotr popełniłby ten sam błąd, mówiąc „wczesne wstawanie szkodzi" — też byłby to wniosek z jednej osoby, tylko w drugą stronę. Wzór „u mnie działa, więc działa u wszystkich" jest zdradliwy także dlatego, że ci, którym nie wyszło, rzadko pouczają innych.

Każdy, kto zacznie wstawać o piątej rano, stanie się bardziej produktywny.
Ula wie, jak jest u niej. Przykład Piotra pokazuje, że u kogoś innego wstawanie o piątej może dać skutek odwrotny, więc „każdy" jest nieprawdą.

Jeden przypadek Piotra wystarcza, by zasada „piąta rano służy wszystkim” przestała być prawdziwa.
Piotr jest kontrprzykładem: wstawał o piątej, a pracował wolniej. Jeden taki przypadek wystarcza, by zdanie „piąta rano służy wszystkim” przestało być prawdziwe.

Wstawanie o piątej służy jednym ludziom, a innym nie, jak widać po Uli i Piotrze.
Przypadki Uli i Piotra rozchodzą się, więc nie ma jednej reguły, którą oba potwierdzają. Wynika z nich tyle, że wczesne wstawanie służy jednym, a innym nie.

Piotr czuł się źle tylko dlatego, że wstawał o piątej zbyt krótko; po roku byłby tak produktywny jak Ula.
To ratuje regułę Uli, dopisując coś, czego w przesłankach nie ma: że po dłuższym czasie Piotr wypadłby jak ona. Na to nie podano żadnych danych.

Przesłanki nie przesądzają, że zarówno Ula, jak i jej brat wstawali o piątej rano.
Wynika: Ula wstaje o piątej, a jej brat Piotr przez miesiąc też wstawał o piątej, więc oboje wstawali o tej porze. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają połączyć dwóch informacji, które w nich stoją.

Maja zna dokładnie jedną drogę do angielskiego — własną. A jej droga to nie tylko seriale: w tle jest mama, która od lat rozmawia z nią w tym języku. Nie da się więc powiedzieć, ile z płynności Mai zawdzięcza serialom, a ile rozmowom w domu, i dlatego jej historia nie jest dowodem, że same seriale wystarczą każdemu. Zdanie „tak nauczy się każdy" robi z osobistej metody regułę, nie sprawdzając, czy inni mają te same warunki. Najwięcej szkody robi tu nie sama niewiedza, lecz to, że Maja nie widzi własnej przewagi: dla niej to zwykłe tło, więc nie wspomni o nim, doradzając innym. Uczciwa forma brzmi: „mnie pomogły seriale, choć w domu też mówiliśmy po angielsku".

Samo oglądanie seriali bez napisów wystarczy, żeby każdy nauczył się płynnie mówić po angielsku.
Maja uczyła się też inaczej: rozmawiała z mamą po angielsku. Jej droga nie oddziela serialu od reszty, więc nie można z niej wyciągnąć, że same seriale wystarczą każdemu.

Płynności Mai nie można przypisać samym serialom, bo od lat rozmawia też z mamą po angielsku.
Rozmowy z mamą to drugi kanał nauki obok seriali. Skoro oba działały naraz, sukcesu Mai nie można przypisać samym serialom, a więc nie jest on dowodem, że same seriale wystarczą innym.

Z historii Mai nie da się powiedzieć, ile jej angielskiego zawdzięczamy serialom, a ile rozmowom z mamą.
Oba źródła działały razem, więc ich wkładów nie można rozdzielić. Zdanie „same seriale wystarczą" i zdanie „seriale nic nie dały" wymagałyby osobnego sprawdzenia, a tu go nie ma.

Seriale nic Mai nie dały, a cała zasługa w jej angielskim należy do mamy.
To ten sam błąd z odwróconym znakiem: z tego, że nie da się rozdzielić wkładów, robi pewność, że cały wkład ma mama. Przesłanki nie rozstrzygają tego w żadną stronę.

Z przesłanek nie wynika, żeby dziś Maja znała angielski lepiej niż wtedy, gdy zaczęła oglądać seriale.
Wynika: Maja nauczyła się angielskiego, oglądając seriale, i dziś mówi płynnie, więc zna go lepiej niż na początku. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają nawet na takie porównanie „przedtem i teraz”.

Pan Tomek zna jedną wyprawę w jednych butach i robi z niej regułę o wszystkich, którzy chodzą w góry. Trampki zdały u niego egzamin, ale on sam jest człowiekiem, który spędził w górach trzydzieści lat — ma wprawę, jaką ktoś na pierwszej wycieczce nie ma. Jego historia mówi więc, że doświadczonemu turyście trampki wystarczyły na tej jednej trasie. Zdanie „buty górskie to wymysł sklepów" idzie dużo dalej: orzeka o wszystkich ludziach, o wszystkich trasach i o każdej pogodzie. Jedno wejście w trampkach obala za to zdanie odwrotne — że bez butów górskich nikt nie wróci z Rysów cały. Podobne stwierdzenia („zawsze tak robiłem i nic się nie stało") są szczególnie przekonujące dla mówiącego, bo własny, szczęśliwy przebieg wydarzeń jest jedynym, jaki zna.

Buty górskie są zbędne dla każdego, kto chodzi w góry.
Pan Tomek sprawdził jedną wyprawę i jednego człowieka — siebie, po trzydziestu latach w górach. „Zbędne dla każdego" przenosi jego wynik na wszystkich i na każdą pogodę.

Z jego wejścia nie wynika, jak w trampkach poradziłby sobie ktoś, kto nigdy wcześniej nie chodził po górach.
Przesłanki opisują człowieka z trzydziestoletnim doświadczeniem. O kimś, kto idzie w góry po raz pierwszy, nie mówią nic, więc jego wynik nie jest tym samym co wynik pana Tomka.

Zdanie, że bez butów górskich nikt nie wróci z Rysów zdrowy, jest nieprawdziwe, bo pan Tomek wrócił.
Jeden udany przypadek wystarcza, by obalić zdanie „nikt tego nie przeżyje bez…". Nie wystarcza natomiast, by udowodnić zdanie przeciwne, że buty nikomu nie są potrzebne.

Pan Tomek miał po prostu szczęście z pogodą, a jego doświadczenie nie miało tu znaczenia.
Przesłanki nic nie mówią o pogodzie. Nie mówią też, że doświadczenie nie miało znaczenia; to kolejne wyjaśnienie dopasowane do jednego wejścia, tak samo niepoparte jak reguła o „każdym".

Przesłanki nie przesądzają, że wyprawę na Rysy w trampkach odbył człowiek z wieloletnim doświadczeniem w górach.
Wynika: pan Tomek chodzi po górach od trzydziestu lat, a na Rysy w trampkach wszedł właśnie on. To doświadczenie jest częścią tego, co wiemy o tym wejściu — i dlatego nie wolno go przenosić na każdego turystę.

To, że nie widzimy innego wyjaśnienia, mówi o naszej liście wyjaśnień, nie o świecie. Lista jest zaś krótka z przyczyn, które nie mają nic wspólnego z prawdą: patrzymy na to, co się rzuca w oczy, a nowy szef rzuca się w oczy bardziej niż sezonowość, cena konkurencji albo jeden duży klient, który odszedł po cichu. Astronomowie w Parkes przez siedemnaście lat rejestrowali dziwne sygnały radiowe, dla których nie widzieli innego wyjaśnienia niż zjawisko astronomiczne; okazało się, że to kuchenka mikrofalowa otwierana przed końcem cyklu. Zdanie „nie znam innej przyczyny" jest przesłanką o mówiącym — dopiero wykluczenie konkretnych innych przyczyn jest przesłanką o przyczynie.

Spadek sprzedaży to wina nowego szefa.
To, że nikt nie wskazał innej zmiany, mówi o tym, czego firma nie wie. Nie sprawdzono sezonowości, cen konkurencji ani odejścia dużego klienta — a każda z tych rzeczy tłumaczy spadek równie dobrze.

Sama zbieżność w czasie nie wskazuje jeszcze, że to nowy szef.
Zbieżność dwóch zdarzeń w czasie to jeszcze nie przyczyna. To, że nikt nie wskazał innej zmiany, mówi o wiedzy firmy, a nie o tym, że innej zmiany nie było.

Z tego, że nikt nie wskazał innej zmiany, nie wynika, że innej przyczyny nie było.
Zdanie o tym, czego nikt nie wskazał, opisuje wiedzę firmy, a nie świat.

Nowy szef nie miał ze spadkiem nic wspólnego.
Z tych samych przesłanek nie wynika też jego niewinność. Zbieżność w czasie jest słabą poszlaką — za słabą na werdykt w którąkolwiek stronę.

Z przesłanek nie wynika, żeby w marcu sprzedaż stanowiła 80% poprzedniego poziomu.
Wynika: spadek o 20% oznacza, że zostało 80% poprzedniego poziomu. Wystarczy odjąć — kłopot leży nie w tej liczbie, tylko w szukaniu przyczyny spadku.

Zdanie „nie widzę innego powodu" opisuje to, co Ola ma w głowie, a nie to, co dzieje się w akwarium. Ola myśli o karmie, bo jest nowa i rzuca się w oczy, a o wodzie nie pomyślała, choć sama ją wymieniła dzień później. Tak powstaje ten błąd: lista wyjaśnień, które znamy, jest zawsze krótsza niż lista tych, które istnieją, więc „nie mam innego" łatwo zamienia się w „nie ma innego". W przesłankach widać aż dwie zmiany w jednym tygodniu, a przecież rybom mogła zaszkodzić też choroba, upał albo brudny filtr, o których nic nie wiemy. Dobre zdanie mówi więc, że karma jest jednym z podejrzanych. Zamiana jej na „winna jest woda" byłaby tym samym błędem z innym bohaterem, bo znów wybieramy to, co akurat widać.

Trzy ryby padły przez nową karmę.
Za tym zdaniem stoi tylko to, że Ola nie widzi innego powodu, a to mówi o jej wiedzy, a nie o akwarium. W tym samym tygodniu zmieniła się też woda, więc „to na pewno karma” nie wytrzymuje nawet przy samych przesłankach.

Zmieniły się dwie rzeczy, karma i woda z kranu, więc karma nie jest jedynym możliwym winowajcą.
Wtorkowa karma i środowa wymiana wody to dwie osobne zmiany, a woda z kranu bywa dla ryb szkodliwa. Obie są więc podejrzane i karma przestaje być jedynym podejrzanym. Wniosek składa dwie przesłanki, a nie powtarza żadnej.

Zbieżność w czasie nowej karmy i padania ryb nie wystarcza, by uznać karmę za przyczynę.
Karma jest w przesłankach jednym z podejrzanych — pojawiła się tuż przed śmiercią ryb. Poza zbieżnością w czasie nic nie pokazuje, że to ona je zabiła, a sama zbieżność nie jest dowodem przyczyny.

Ryby padły przez świeżą wodę z kranu, którą Ola wlała do akwarium w środę.
To ten sam błąd z innym bohaterem. Woda jest podejrzana tylko dlatego, że to druga zmiana, którą widać na liście, a rybom mogło zaszkodzić coś, o czym Ola nie wie. Woda mogła, ale „nie ma nic innego” znowu nie jest dowodem.

Nowa karma nie miała z padaniem ryb nic wspólnego.
Dwie zmiany naraz nie oczyszczają żadnej z nich. Karma nadal mogła zaszkodzić rybom, a przesłanki tylko nie pozwalają tego stwierdzić. Zdanie o całkowitej niewinności karmy jest zdaniem o pewności, której nikt nie ma.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że ten tydzień przeżyło pięć z ośmiu ryb Oli.
Wynika: z ośmiu ryb padły trzy, więc osiem minus trzy daje pięć ryb, które ten tydzień przeżyły. To zwykłe odjęcie. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają policzyć ocalałych.

Kuba zna jedną rzecz, którą jedli wszyscy chorzy, i na tym kończy poszukiwania. Tyle że tort zjadło wszystkich dwanaście osób, więc siedem zdrowych jadło go tak samo jak pięć chorych. Coś, co mają wspólne i chorzy, i zdrowi, nie tłumaczy, dlaczego zachorowali akurat ci pierwsi. Lista Kuby jest krótka, bo składa się z tego, co zapamiętał: tort był największy i najbardziej rzucał się w oczy, a przekąski i sok, których nikt nie zapisał, w ogóle nie trafiły na listę. „Nie wiem, co jeszcze mogło zaszkodzić" jest informacją o Kubie, a nie o urodzinach. Żeby wskazać tort, trzeba by pokazać, że chorzy jedli go częściej albo więcej niż zdrowi, a tego przesłanki nie mówią. Tort może być winny, ale nic tego nie dowodzi.

Tort z urodzin Zosi rozchorował pięć osób.
Kuba nie wie, co jeszcze mogło zaszkodzić, ale to jego niewiedza, a nie dowód na tort. Przekąski i sok też były na stole i nikt nie zapisał, kto co wziął, więc inne wyjaśnienia nie zostały wykluczone.

Aż siedem osób zjadło ten sam tort co chorzy i dzień później czuło się dobrze.
Na urodzinach było 12 osób, wszystkie jadły tort, a zachorowało 5. Odejmujemy: 12 minus 5 to 7 osób, które zjadły ten sam tort i nie zachorowały. Wniosek wymaga rachunku, a nie przepisania zdania.

Tort, który zjadły i chore, i zdrowe osoby, sam nie wyjaśnia, kto zachorował.
Wspólny czynnik, który mają i chorzy, i zdrowi, nie tłumaczy, kto zachorował. Tort zjadło wszystkich dwanaście osób, więc nie odróżnia pięciu chorych od siedmiu zdrowych. Żeby wskazać go jako przyczynę, potrzebny byłby dodatkowy dowód.

Tort był dla wszystkich gości bezpieczny.
To ten sam błąd w drugą stronę. To, że ktoś zjadł tort i się nie rozchorował, nie wyklucza, że tort zaszkodził innym: może to zależeć od kawałka, ilości albo organizmu. Przesłanki tego nie rozstrzygają.

Zachorowały te osoby, które zjadły największe kawałki tortu.
To dopisana historia. Przesłanki nie mówią nic o wielkości kawałków ani o dawce, więc to zdanie wymaga faktu, którego w nich nie ma. Brzmi jak wyjaśnienie (większa dawka), ale jest zgadywaniem.

Przesłanki nie przesądzają, że wszyscy chorzy zachorowali dopiero po urodzinach.
Wynika: dopiero następnego dnia po urodzinach zachorowało pięć osób, więc choroba pojawiła się po przyjęciu. To tylko kolejność w czasie, bez wniosku o przyczynie. Zdanie udaje, że nawet tej kolejności nie da się ustalić.

Babcia zrobiła jedną rzecz dobrze: sprawdziła kran. Gdyby kapał, w zlewie stałaby woda, a zlew był suchy w trakcie stukania, więc kran odpada — to zwykłe odwrócenie zdania „jeśli kran, to woda". Potem jednak babcia przeskakuje od „nie wiem, co stuka" do „stuka duch". To skok z jej wiedzy do świata. W kuchni jest wiele rzeczy, które mogą stukać, na przykład rury, lodówka albo okno, a babcia nie sprawdziła żadnej z nich. Lista jej pomysłów jest krótka dlatego, że babcia o innych nie pomyślała, a nie dlatego, że innych nie ma. „Duch" ma w przesłankach tyle poparcia, ile miał na początku: żadnego. To, że jedno wyjaśnienie odpadło, nie podnosi tego, które babcia wymyśliła na końcu.

Stukanie w kuchni babci robi duch.
Kran odpada, ale to, że babcia nie zna innej przyczyny, mówi o niej, a nie o kuchni. Stukać może wiele rzeczy, których babcia nie sprawdziła, a „duch" nie ma w przesłankach żadnego poparcia.

Stukanie w kuchni babci nie pochodzi od kapiącego kranu, bo podczas stukania zlew był suchy.
Gdyby kran kapał, w zlewie zostawałaby woda, a podczas stukania zlew był suchy. Odwracamy więc zdanie: brak wody oznacza, że to nie kapiący kran. To kontrapozycja, a nie powtórzenie przesłanki.

To, że babcia nie zna innego wyjaśnienia, mówi o liście jej pomysłów, a nie o tym, co stuka w kuchni.
Babcia nie zna innego wyjaśnienia, ale to opis jej wiedzy, a nie kuchni. Lista znanych jej wyjaśnień jest po prostu krótka, więc z samego braku pomysłu nie da się wyprowadzić ani ducha, ani żadnej innej przyczyny.

Suchy zlew pokazuje, że źródłem nocnego stukania jest kapiący kran.
Z przesłanek wynika „jeśli kran, to woda w zlewie", więc sucho w zlewie przeczy kranowi. Zdanie robi z tego dokładną odwrotność i traktuje brak wody jako dowód za kranem.

W kuchni stuka rura od ogrzewania, która w nocy stygnie i się kurczy.
Rura może stukać, ale to dopisany fakt. Przesłanki nic nie mówią o rurach ani o chłodzie w nocy, więc wniosek opiera się na wiedzy, której w nich nie ma, i podmienia ducha na inny niesprawdzony pomysł.

Z przesłanek nie wynika, żeby w ciągu tygodnia w kuchni babci stuknęło co najmniej siedem razy.
Wynika: w kuchni stuka co noc, a w tygodniu jest siedem nocy, więc co najmniej siedem razy. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają tego policzyć.

Zanegowanie jednej hipotezy nie podnosi żadnej konkretnej z pozostałych — rozkłada się na wszystkie, których nawet nie wypisaliśmy. Odpadło włamanie przez okno, ale zostają: ktoś z kluczem, drzwi otwarte przez nieuwagę, włamanie bez widocznych śladów, obraz przeniesiony i zapomniany, wreszcie wersja, że nikt go nie zabierał i wciąż jest w domu. Typowy skok wygląda tak: „nie było włamania, więc zrobił to ktoś z rodziny" — a przecież klucze mają też sprzątaczka i sąsiad. Uczciwy wniosek zawęża pole i mówi o tym wprost, zamiast wskazywać palcem jedną z kilku możliwości, które zostały.

Obraz wyniósł ktoś z rodziny.
Brak śladów włamania zawęża krąg do osób z kluczem, a w tym kręgu są też sprzątaczka i sąsiad. Uzasadnienie, że tylko domownicy wiedzieli, gdzie obraz wisi, jest dopowiedzeniem — przesłanki o tym milczą.

Jeśli obraz ktoś zabrał, to był to ktoś, kto miał klucz.
To dokładnie to, co daje wykluczenie włamania: skoro ktoś zabrał obraz bez włamania, to wszedł przez drzwi, do których miał klucz. Pole się zawęża, ale osoba nie zostaje wskazana.

Brak śladów włamania nie wskazuje żadnej konkretnej osoby z tych, które mają klucze.
Wykluczenie włamania zawęża pole, ale w tym polu zostaje kilka osób.

Obraz nie został przez nikogo ukradziony.
Kradzież nie wymaga włamania — wystarczy klucz. Rozumowanie „nie było włamania, więc nie było kradzieży” myli jeden sposób wejścia z całym zjawiskiem.

Obraz wyniosła sprzątaczka.
Dokładnie tak samo nieuprawnione jak wskazanie rodziny — i to pokazuje, że wykluczenie włamania nie wskazuje nikogo konkretnego. To, że sprzątaczka bywa w domu najczęściej, jest dopowiedzeniem, a nie przesłanką.

Hania miała trzy podejrzenia i jedno z nich właśnie padło: wilgotna ziemia pokazuje, że bazylii nie brakuje wody, bo przy braku wody ziemia byłaby sucha. Zostają słońce i mszyce i to wszystko, co wiemy: nikt ich jeszcze nie sprawdził, więc nie wiemy, czy któreś z nich jest winne. Pokusa jest taka, by uznać, że skoro jedno podejrzenie odpadło, to jego miejsce zajmuje „następne na liście", zwykle to, o którym akurat pomyśleliśmy. Tymczasem odpadnięcie jednej hipotezy zawęża pole, ale nie wskazuje żadnej z pozostałych, a lista Hani może w ogóle nie zawierać prawdziwej przyczyny. Dopiero obejrzenie liści i sprawdzenie, ile światła dociera do doniczki, mogłoby coś rozstrzygnąć.

Bazylia żółknie z braku słońca.
Wilgotna ziemia wykluczyła brak wody, ale nie wskazuje światła. Zostają jeszcze mszyce, a Hania może nie znać też innych powodów. Skoro nikt nie sprawdził słońca, nie ma podstaw, by uznać je za winne tylko dlatego, że woda odpadła.

Brak wody odpada jako powód żółknięcia bazylii, bo ziemia w jej doniczce jest wilgotna.
Z przesłanki „gdyby brakowało wody, ziemia byłaby sucha" i faktu, że ziemia jest wilgotna, wynika, że wody nie brakuje. To odwrócenie zdania, a nie przepisanie. Tyle wolno powiedzieć o wodzie.

Z trzech powodów Hani odpadł jeden, a z przesłanek nie wynika, który z dwóch pozostałych jest właściwy.
Z trzech powodów z listy Hani jeden odpadł, więc zostały dwa. Ani słońca, ani mszyc nikt nie sprawdził, więc przesłanki nie wskazują żadnego z nich. Wykluczenie zawęziło pole, ale nikogo nie wskazało.

Bazylia żółknie z nadmiaru wody.
Wilgotna ziemia wyklucza brak wody, ale nie dowodzi nadmiaru. Wilgotna to nie to samo co przelana, a przesłanki nic nie mówią o podlewaniu. To skok od „nie to" do „coś innego" bez poparcia.

Przesłanki nie przesądzają, że woda była jedynym z trzech podejrzeń Hani, które ktoś już sprawdził.
Wynika: mama sprawdziła ziemię, czyli wodę, a słońca i mszyc nikt jeszcze nie sprawdził. Woda jest więc jedynym z trzech podejrzeń, które ktoś już sprawdził. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają złożyć tych dwóch informacji.

Ewa i Marek mają dwa wyjaśnienia, a pomiary rozstrzygają tylko jedno z nich: gdyby staw wyschnął, poziom wody byłby niższy, a jest taki sam jak rok temu. Wyjaśnienie Marka przegrało. Ale to nie znaczy, że wyjaśnienie Ewy wygrało, bo żaby mogły zniknąć z wielu innych powodów, a nikt nawet nie widział, żeby kaczki je jadły. Przegrana jednej strony wygląda na wygraną drugiej tylko wtedy, gdy obie są jedynymi możliwościami, a tego nikt nie pokazał. To typowy błąd w kłótniach: ktoś obala cudzy pogląd i od razu ogłasza, że jego własny został udowodniony. Aby poprzeć wersję Ewy, trzeba by pokazać coś, co mówi o kaczkach i żabach, na przykład ślady na brzegu. Pomiary wody mówią tylko o wodzie.

Żaby ze stawu zjadły kaczki, które zamieszkały nad stawem.
Obalenie wyjaśnienia Marka zostawia wyjaśnienie Ewy tam, gdzie było: bez dowodu. Nikt nie widział, żeby kaczki jadły żaby, więc to, że Marek się mylił, nie podnosi wiarygodności kaczek.

Staw nie wyschnął, bo poziom wody jest taki sam jak rok temu, więc wyjaśnienie Marka odpada.
Z przesłanki „gdyby staw wyschnął, poziom wody byłby niższy" i pomiaru, że jest taki sam jak rok temu, wynika, że staw nie wyschnął. Wyjaśnienie Marka odpada — to odwrócenie zdania, a nie jego powtórzenie.

Odpadnięcie wyjaśnienia Marka nie pokazuje jeszcze, co naprawdę stało się z żabami.
Błąd w jednym wyjaśnieniu nie robi z drugiego prawdy. Żaby mogły zniknąć z wielu powodów, a przesłanki nie mówią nic o kaczkach poza tym, że nikt nie widział, jak jedzą żaby. Wniosek mówi dokładnie tyle.

Kaczki nie mają ze zniknięciem żab nic wspólnego.
To argument z niewiedzy w drugą stronę. To, że nikt nie widział kaczek jedzących żaby, nie znaczy, że ich nie jadły; po prostu tego nie wiemy. Ten wniosek jest tak samo nieuprawniony jak „zjadły je kaczki".

Żaby wyginęły z powodu choroby.
Choroby nie ma w przesłankach, a wykluczenie wyschnięcia stawu nie podnosi jej wiarygodności. Wniosek wskazuje trzecie wyjaśnienie, choć nic nie przemawia za nim bardziej niż za kaczkami czy za jeszcze innym powodem.

Przesłanki nie przesądzają, że wyjaśnienie Marka dało się sprawdzić pomiarem poziomu wody w stawie.
Wynika: wyjaśnienie Marka przewiduje niższy poziom wody, a pomiary ten poziom pokazują, więc dało się je sprawdzić — i właśnie w ten sposób odpadło. Zdanie udaje, że pomiar nie miał z tym wyjaśnieniem nic wspólnego.

Tata zrobił rzecz rozsądną: wymienił podejrzany sprzęt i sprawdził, czy coś się zmieniło. Nic się nie zmieniło, więc router i kabel odpadają, bo gdyby któryś był winny, nowe urządzenia poprawiłyby sytuację. To jest poprawne odwrócenie zdania „jeśli sprzęt, to poprawa". Dalej zaczyna się błąd: z trzech podejrzeń zostało jedno, więc kusi, by powiedzieć „zatem dostawca". Tymczasem lista taty jest tylko jego listą. Tata sam przyznaje, że mógł o czymś nie pomyśleć, a dostawcy nikt o nic nie zapytał, więc nawet jego wina nie ma żadnego poparcia poza tym, że jest ostatnia. Wykluczenie dwóch hipotez zawęża pole, ale nie wskazuje trzeciej. Zyskujemy za to jedną pewność: wiemy teraz, czego szukać nie trzeba.

Za wolny internet wieczorami odpowiada dostawca.
Wymiana sprzętu zawęża pole, ale dostawcy nie wskazuje. Nikt jeszcze o nic go nie zapytał, a tata przyznaje, że mogła zawinić rzecz, o której nie pomyślał. „Ostatni na liście" to nie to samo co „winny".

Wolny internet wieczorami nie jest winą routera ani kabla, bo nowe nie poprawiły sytuacji.
Gdyby router lub kabel był winny, nowe urządzenia poprawiłyby sytuację, a internet zwalnia tak samo. Odwracamy więc zdanie: brak poprawy znaczy, że to nie one. To krok, a nie powtórzenie.

Po wymianie sprzętu nikt nie sprawdził jeszcze dostawcy, a przyczyna może leżeć też poza listą taty.
Dwa podejrzenia odpadły, ale dostawcy nikt nie sprawdził, a tata dopuszcza jeszcze inną przyczynę. Przesłanki nie pozwalają więc rozstrzygnąć między dostawcą a czymś nieznanym. Wniosek składa trzy przesłanki.

Dostawca nie ma nic wspólnego z wolnym internetem wieczorami.
Odpadły router i kabel, ale o dostawcy nic nie wiadomo, bo nikt o nic go nie zapytał. Wnioskowanie „sprzęt jest sprawny, więc dostawca nie zawinił" robi z braku sprawdzenia dowód niewinności.

Internet zwalnia, bo wieczorami z tego samego łącza korzystają sąsiedzi.
Sąsiedzi korzystający z jednego łącza to dopisany fakt, którego w przesłankach nie ma. Wniosek podmienia jedno niesprawdzone wyjaśnienie innym, równie niesprawdzonym.

Przesłanki nie przesądzają, że dostawca był jedynym podejrzanym taty, którego jeszcze nie sprawdzono.
Wynika: tata podejrzewał router, kabel i dostawcę. Router i kabel wymienił, więc je sprawdził, a dostawcy nikt o nic nie zapytał. Dostawca jest zatem jedynym podejrzanym z tej listy, którego nie sprawdzono. Zdanie udaje, że przesłanki nie pozwalają złożyć tych informacji.

Rozumowanie z modelu i wynik pomiaru to dwa różne rodzaje wiedzy, a zdanie „spóźnień będzie mniej" podane bez zastrzeżeń udaje drugie, będąc pierwszym. Model mówi tu rzecz rozsądną: kara zmniejsza zachowanie. Rzeczywistość w izraelskich przedszkolach zrobiła coś przeciwnego — po wprowadzeniu opłaty spóźnień było **więcej**, bo opłata zamieniła zobowiązanie wobec zmęczonej wychowawczyni w usługę z cennikiem. Dopóki kiepsko czuję się z tym, że ktoś na mnie czeka, przyjeżdżam. Gdy mogę za to zapłacić, kupuję sobie spokój. Model nie przewidział tego nie dlatego, że był głupi, ale dlatego, że modele pomijają to, o czym nie wiedzą. Dlatego wniosek z modelu ma inną siłę niż wniosek z pomiaru.

Po wprowadzeniu opłaty spóźnień będzie mniej.
To wniosek z rozumowania, nie z pomiaru, a podany jest jak fakt. W rzeczywistych przedszkolach taka opłata zwiększyła liczbę spóźnień, bo zamieniła zobowiązanie w usługę z cennikiem.

Dyrektor ma powód, by oczekiwać mniej spóźnień, ale w tym przedszkolu nikt tego nie zmierzył.
Zdanie nazywa rozumowanie dyrektora rozumowaniem: powód, by oczekiwać mniej spóźnień, jest, a pomiaru w tym przedszkolu nie ma.

Z rozumowania dyrektora nie wynika, że spóźnień faktycznie będzie mniej.
Rozumowanie z modelu jest hipotezą do sprawdzenia, a nie wynikiem pomiaru.

Po wprowadzeniu opłaty spóźnień będzie więcej.
Tak było w znanym badaniu, ale z tych przesłanek to nie wynika — to druga hipoteza, nie wniosek. Znajomość ciekawostki nie zastępuje pomiaru w tym przedszkolu.

Kary pieniężne nie zmieniają ludzkich zachowań.
Przesłanki mówią o jednym pomyśle w jednym przedszkolu, a to zdanie o wszystkich karach w ogóle.

Rozumowanie z budowy i pomiar skutków to dwa różne rodzaje wiedzy. Lekarz wie, z czego zbudowane są blaszki i co jest w żółtku, i z tego składa wniosek o ludziach: kto je jajka, ten ma zatkane tętnice. Brzmi to rozsądnie, ale pomija wszystko, co dzieje się między talerzem a tętnicą: trawienie, wchłanianie, to, ile cholesterolu organizm wytwarza sam i jak reaguje na ten z jedzenia. Przesłanki o składzie pasują do świata, w którym jajka szkodzą, i równie dobrze do świata, w którym nie mają znaczenia dla tętnic. Różnicę robi dopiero pomiar: porównanie ludzi jedzących dużo i mało jajek. Hipotezę z rozumowania wolno stawiać, ale nie wolno podawać jej jak wyniku — i nie wolno też uznawać jej za obaloną tylko dlatego, że nikt jej jeszcze nie zmierzył.

Ludzie jedzący dużo jajek mają częściej zatkane tętnice, a lekarz tylko opisał ustalony fakt.
To zdanie podaje jako ustalony fakt coś, co jest tylko wnioskiem z rozumowania o składzie jajek i blaszek. Taki wniosek zakłada, że cholesterol z jajek trafia prosto do blaszek, a ten mechanizm nie został tu pokazany: organizm może wytwarzać własny cholesterol i regulować ten z jedzenia po swojemu.

To, co wiemy o blaszkach i żółtku, mogłoby być prawdą także wtedy, gdy jajka tętnic w ogóle nie zatykają.
Skład blaszek i skład żółtka pasują do tezy lekarza, ale pasują też do świata, w którym ciało radzi sobie z cholesterolem z jedzenia i jajka tętnicom nie szkodzą. Te przesłanki nie odróżniają jednego świata od drugiego; zrobiłoby to dopiero porównanie ludzi.

Zdanie lekarza jest przewidywaniem, które da się sprawdzić; z samego składu jajek nie wynika jego prawdziwość.
Lekarz przewiduje, co zobaczylibyśmy, porównując tętnice ludzi — ale nikt tego nie porównał. Przewidywanie jest czymś innym niż wynik: może się potwierdzić albo nie, a sam skład jajek nie rozstrzyga którego z tych dwojga.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że lekarz miał powód, by podejrzewać akurat jajka.
Powód jest: ten sam składnik tworzy blaszki i występuje w żółtku, a to uczciwy punkt wyjścia do podejrzeń. Błąd lekarza nie polega na braku powodu, tylko na tym, że podejrzenie podaje jak ustalony wynik.

To, że nie porównano tętnic ludzi jedzących dużo i mało jajek, dowodzi, że jajka tętnicom nie szkodzą.
Brak badania pokazującego szkodę nie jest badaniem pokazującym brak szkody. Nikt tu niczego nie porównał, więc „nie szkodzą" jest tak samo nieuzasadnione jak zdanie lekarza — tylko w drugą stronę.

Argument inżyniera jest modelem: więcej pasów to więcej miejsca, więc mniej korków. Model ma ukryte założenie — że liczba aut na ulicy się nie zmieni. Tymczasem kierowcy reagują na to, co zbudowano: mogą wrócić na ulicę, którą wcześniej omijali, wyjechać o innej porze albo przesiąść się z autobusu do samochodu. Dlatego „korków będzie mniej" jest przewidywaniem, a nie wynikiem. Dwa miasta z przesłanek pokazują, że to samo rozumowanie raz się sprawdziło, a raz nie, więc nie jest regułą bez wyjątków. Jeden przykład przeciwny wystarcza, by obalić „zawsze", ale nie wystarcza, by uzasadnić „nigdy". Co stanie się w naszym mieście, pokaże pomiar po budowie, a nie rachunek miejsca na jezdni.

Przykład miasta A pokazuje, że dobudowanie pasa zmniejsza korki na głównej ulicy.
To uogólnienie jednego przykładu podane jak reguła. Rozumowanie liczy miejsce na jezdni i milcząco zakłada, że aut nie przybędzie; miasto B pokazuje, że to założenie bywa nietrafne.

Rozumowanie „więcej pasów, mniej korków" nie sprawdza się w każdym mieście.
Jeden przykład przeciwny — miasto B, w którym korki nie zmalały — wystarcza, żeby obalić „zawsze". To zdanie nie twierdzi, że pas nie pomaga nigdy; mówi tylko, że rozumowanie nie jest regułą bez wyjątków.

Z przykładów miast A i B nie wynika, że w naszym mieście korki po budowie pasa zmaleją.
W jednym mieście korki zmalały, w drugim nie, a w naszym nic jeszcze nie zmierzono. Dwa przeciwne przykłady nie przesądzają, po której stronie znajdzie się nasze miasto.

Z przesłanek nie wynika, że rozumowanie inżyniera sprawdziło się choć w jednym mieście.
W mieście A po dobudowaniu pasa korki zmalały — to stoi w przesłankach. Wynika więc, że w jednym mieście rozumowanie inżyniera się sprawdziło. Udawanie, że nie wiemy nawet tego, jest równie nietrafne jak jego pewność.

W mieście B korki po dwóch latach od dobudowania pasa były większe niż przedtem.
To sprzeczne z przesłanką: w mieście B korki po dwóch latach były takie same, a nie większe. Korki tam nie zmalały, ale też nie wzrosły, a o naszym mieście nic jeszcze nie wiadomo.

W mieście B korki nie zmalały, bo kierowcy przenieśli się na tę ulicę z bocznych ulic.
Przesłanki mówią, że w B korki pozostały takie same, ale nie mówią dlaczego. Taki mechanizm jest możliwy, tylko że to nowa hipoteza, której nic tu nie potwierdza.

Rachunek kierownika jest czystą arytmetyką: osiem osób to dwa razy więcej rąk niż cztery, więc czas dzieli się przez dwa. Cztery razy osiem miesięcy to tyle samo pracy, co osiem razy cztery, i na papierze się zgadza. Ale zdanie „skończymy w cztery miesiące" jest przewidywaniem z modelu, w którym nowi ludzie pracują od pierwszego dnia tak samo szybko jak starzy. W przesłankach jest to, czego model nie widzi: nowych uczą ci sami czterej, którzy już piszą projekt, a uczenie zabiera czas. Przez jakiś czas zespół pisze więc mniej, nie więcej. Ile to potrwa i czy się opłaci, rachunek nie mówi — mówią dopiero pomiary z prawdziwych projektów. Dopóki ich nie ma, „cztery miesiące" jest hipotezą z modelu, a nie terminem, który da się obiecać.

Dołożenie programistów skróci projekt w takim samym stosunku, w jakim wzrośnie ich liczba.
To rachunek podany jak termin: z ośmioma programistami zamiast czterech projekt miałby się skończyć w cztery miesiące zamiast w osiem. Tezę podpiera to, że ośmiu zrobi dwa razy więcej niż czterech, ale zakłada ona, że nowi ludzie piszą od pierwszego dnia tak samo szybko jak starzy, a przesłanki mówią, że najpierw trzeba ich uczyć i że uczą ich ci sami, którzy piszą projekt.

Rachunek kierownika pomija czas na uczenie nowych ludzi, a uczą ich ci sami, którzy już piszą kod.
Rachunek dzieli pracę przez liczbę osób i niczego więcej nie uwzględnia — ani nauki nowych, ani tego, że uczą ich ci sami czterej, którzy piszą projekt. Skoro uczenie zabiera czas, wynik rachunku nie musi być faktycznym terminem — jest przewidywaniem z modelu.

Przez jakiś czas po dołożeniu ludzi dotychczasowa czwórka będzie pisać mniej kodu niż przedtem.
Ci sami czterej piszą projekt i uczą nowych, a uczenie zabiera czas. Czas poświęcony na uczenie nie może być jednocześnie przeznaczony na pisanie, więc na początku pisania jest u nich mniej.

Z przesłanek nie wynika, że projekt wymaga łącznie trzydziestu dwóch miesięcy pracy jednego programisty.
Wynika wprost z pierwszej przesłanki: czterej programiści pracujący osiem miesięcy to 4 × 8 = 32 miesiące pracy jednej osoby. Ta część rachunku kierownika jest poprawna — błąd leży w założeniu, że nowi ludzie pracują od pierwszego dnia tak samo szybko jak starzy.

Dołożenie czterech programistów sprawi, że projekt skończy się później niż za osiem miesięcy.
Uczenie na początku spowalnia pracę, ale z przesłanek nie wynika, że spowolni ją aż tak, by projekt przeciągnął się ponad osiem miesięcy. To druga hipoteza, równie niesprawdzona jak cztery miesiące kierownika.

Każde zdanie prawdziwe, a obraz całości fałszywy — i bez jednego kłamstwa. Liczba doniesień zależy od dwóch rzeczy: od tego, ile się zdarza, i od tego, ile się o tym pisze. Druga z nich urosła ogromnie, bo doniesienia przestały konkurować o miejsce na papierze, a katastrofa z drugiego końca świata dociera dziś w kilka minut. Dziesięciokrotny wzrost liczby artykułów jest więc zgodny i ze wzrostem, i ze spadkiem liczby katastrof. Żeby powiedzieć cokolwiek o bezpieczeństwie, trzeba mianownika: wypadków na milion lotów. Ten spada od dekad. To ta sama pułapka, co w rozdziale siódmym przy statystykach kradzieży — zmienił się pomiar, nie świat.

Latanie staje się coraz bardziej niebezpieczne.
Wzrosła liczba doniesień, a nie wiadomo, czy liczba katastrof. Media piszą dziś o zdarzeniach z całego świata w kilka minut; żeby ocenić bezpieczeństwo, trzeba wypadków na milion lotów.

Z liczby doniesień nie wynika, ile było katastrof.
Liczba doniesień zależy także od tego, jak często się o czymś pisze, a nie tylko od tego, ile było zdarzeń.

Liczba doniesień zależy zarówno od liczby zdarzeń, jak i od tego, jak często się o nich pisze.
To zdanie rozkłada liczbę doniesień na dwa składniki: ile było zdarzeń i ile się o nich pisze. Przesłanki dają tylko sumę, więc po samej liczbie doniesień nie da się orzec, który ze składników się zmienił.

Latanie staje się coraz bezpieczniejsze.
To zdanie jest prawdziwe, ale z tych przesłanek nie wynika. Prawdziwy wniosek, do którego nie prowadzą dane, wciąż jest złym argumentem.

Przesłanki nie przesądzają, że gdyby dekadę temu było sto takich doniesień, dziś byłoby ich tysiąc.
Przesądzają: dziesięć razy więcej to dziesięć razy sto, czyli tysiąc. Wystarczy pomnożyć — o lotnictwie nic z tego nie wynika, ale o liczbie doniesień owszem.

Obie liczby z gazety są prawdziwe: w szpitalu A zmarło 40 pacjentów, w B 10. A mimo to obraz, który z nich powstaje — że A jest groźniejszy — jest odwrócony. Liczba zgonów zależy od dwóch rzeczy: od tego, jak często pacjenci umierają, i od tego, ilu ich w ogóle jest. Szpital A leczył 8000 osób, więc 40 zgonów to jeden na 200 pacjentów. Szpital B leczył 100 osób, więc 10 zgonów to jeden na 10. Ułamek zmarłych jest w B dwadzieścia razy większy. Nawet to nie dowodzi jeszcze, że B leczy gorzej, bo mógł przyjmować najciężej chorych — ale pokazuje, że z samej liczby zgonów wniosku o ryzyku nie da się wyciągnąć. Żeby porównywać szpitale, potrzebny jest mianownik, czyli liczba pacjentów.

W szpitalu A leczy się gorzej niż w szpitalu B, a gazeta słusznie to pokazała.
Tezę podpiera to, że w A umiera cztery razy więcej pacjentów niż w B. Cztery razy więcej zgonów to prawda, ale A leczył osiemdziesiąt razy więcej osób. Przy takiej liczbie pacjentów 40 zgonów to bardzo mało, a nie dużo — liczy się ułamek, nie liczba bezwzględna.

W szpitalu B zmarł w zeszłym roku większy ułamek pacjentów niż w szpitalu A.
Po podzieleniu: w A zmarło 40 z 8000, czyli jedna osoba na dwieście, w B 10 ze 100, czyli jedna na dziesięć. Ten wniosek jest wynikiem tego dzielenia i nie mówi nic o jakości leczenia.

Z większej liczby zgonów w szpitalu A nie wynika, że pacjent ma tam większe ryzyko śmierci.
W A zmarło więcej osób, ale leczono ich też znacznie więcej. Ryzyko pacjenta to ułamek zmarłych wśród leczonych; samej liczby zgonów nie wolno z nim mylić.

Przesłanki nie przesądzają, że w szpitalu A zmarło mniej niż jeden pacjent na stu.
Wynika z dzielenia: 40 zgonów na 8000 pacjentów to jeden zgon na dwustu pacjentów, czyli mniej niż jeden na stu. Przesłanki podają i zgony, i liczbę pacjentów, więc ułamek da się policzyć.

Szpital B leczył w zeszłym roku więcej pacjentów niż szpital A.
To odwrotnie niż w drugiej przesłance: szpital A leczył 8000 osób, a B tylko 100. Pomyłka w tym, który szpital jest większy, prowadzi do odwróconego obrazu — tak samo jak branie liczby zgonów za ryzyko.

Zdanie prezesa jest prawdziwe: ze 100 tysięcy do 130 tysięcy to wzrost o 30%. Ale wzrost zawsze liczy się od jakiegoś punktu, a prezes wybrał punkt, który wygląda najlepiej: poprzedni kwartał był najgorszy od pięciu lat. Od tak niskiego dna prawie każdy wynik wygląda jak sukces. Gdy zmienić punkt odniesienia na ten sam kwartał rok temu, obraz się odwraca: było 150 tysięcy, jest 130, czyli o 20 tysięcy mniej. Nikt tu nie skłamał ani nie zmyślił liczb, a mimo to słuchacz odchodzi z przekonaniem, że firma odrabia straty, choć sprzedaje nadal mniej niż przed rokiem. Pytanie „wzrost względem czego?" odróżnia informację od wrażenia.

Firma wyszła z kłopotów, a wzrost sprzedaży o 30 procent pokazuje, że idzie jej coraz lepiej.
Tezę podpiera prezes, mówiąc o wzroście o 30%. Ale liczono go od najgorszego kwartału od pięciu lat. Rok temu w tym samym kwartale sprzedawano więcej niż dziś, więc o wyjściu z kłopotów przesłanki nie mówią — raczej o odbiciu od dna.

W porównaniu z tym samym kwartałem rok temu sprzedaż spadła o 20 tysięcy złotych.
Rok temu w tym samym kwartale było 150 tysięcy, dziś 130 — różnica to 20 tysięcy w dół. To jest to samo zdarzenie co wzrost o 30%, tylko liczone od innego punktu.

Z przesłanek nie wynika, że sprzedaż poprawiła się w porównaniu z tym samym kwartałem rok temu.
Wzrost o 30% jest wzrostem względem poprzedniego kwartału, a nie względem zeszłego roku. Przesłanki mówią coś odwrotnego niż „poprawa": w tym samym kwartale rok temu sprzedano więcej.

Z przesłanek nie wynika, że od poprzedniego kwartału sprzedaż wzrosła o 30 tysięcy złotych.
Wynika: 30% ze 100 tysięcy to 30 tysięcy, a 130 − 100 = 30. Zdanie prezesa jest prawdziwe, więc kwota wzrostu od poprzedniego kwartału wychodzi z przesłanek wprost.

Prezes podał nieprawdziwą liczbę: sprzedaż w tym kwartale nie wzrosła o 30 procent.
Przesłanka mówi, że zdanie prezesa jest prawdziwe, i rachunek się zgadza: 100 → 130 to 30%. Błąd tkwi w obrazie, jaki ta liczba daje, a nie w samej liczbie.

Sprzedaż jest dziś niższa niż rok temu, bo część klientów przeszła do konkurencji.
Że sprzedaż jest niższa niż rok temu, wynika z liczb. Dlaczego jest niższa, w przesłankach nie ma — odejście klientów to dodana hipoteza, nie wniosek.

Średnia pensja opisuje grupę, nie żadną z osób w niej. Rok temu firma miała cztery osoby, które zarabiały razem 20 tysięcy złotych, czyli średnio 5000. Dziś ma dwie, które zarabiają razem 16 tysięcy, czyli średnio 8000. Nikomu nie zmieniono pensji, więc cała zmiana średniej wzięła się z tego, kto został: odeszły dwie osoby zarabiające najmniej. Dyrektor mówi prawdę, ale słuchacz usłyszy „zarobki rosną". Średnia może rosnąć, gdy nikomu nie przybywa, tak samo jak może spadać, gdy nikomu nie ubywa. Dlatego zmiana średniej w czasie coś mówi o ludziach dopiero wtedy, gdy porównuje się tę samą grupę osób.

Pracownikom tej firmy powodzi się dziś o 3000 złotych lepiej niż rok temu.
Tezę podpiera to, że średnia poszła w górę o 3000. Ale nikomu pensji nie podniesiono. Zmieniło się tylko to, kto w firmie pracuje: odeszli ci, którzy zarabiali najmniej. Pracownikom, którzy zostali, powodzi się dokładnie tak samo jak przedtem.

Średnia wzrosła wyłącznie dlatego, że z firmy odeszły osoby zarabiające najmniej.
Skoro nikomu pensji nie zmieniono, jedyna rzecz, która mogła podnieść średnią, to zmiana składu: zniknęły dwie najniższe pensje. Cztery pensje dawały 5000 średnio, dwie pozostałe dają 8000.

Z tego, że średnia pensja wzrosła, nie wynika, że choć jeden z obecnych pracowników zarabia więcej niż rok temu.
Średnia opisuje grupę, a nie poszczególne pensje. Tu średnia wzrosła, a pensje obu obecnych pracowników są dokładnie takie same jak rok temu — wzrost średniej nie świadczy o podwyżkach.

Przesłanki nie przesądzają, że firma wydaje dziś na pensje mniej niż rok temu.
Wynika: odeszły dwie osoby, a pozostałym nie zmieniono pensji, więc łączna kwota pensji jest mniejsza — 16 tysięcy zamiast 20. Firma wydaje mniej, choć średnia wzrosła.

Każdemu z pracowników tej firmy podniesiono w ciągu ostatniego roku pensję.
To sprzeczne z drugą przesłanką: nikomu pensji nie zmieniono, a średnia mimo to wzrosła. To pokazuje, że wzrost średniej nie wymaga żadnych podwyżek — wystarczy zmiana składu grupy.

Teza, której nic nie może zaprzeczyć, nic też nie mówi. Zauważ, co robią obie przesłanki: z góry zamieniają każdy możliwy dowód przeciw w dowód za. Pacjent wyzdrowiał — terapia działa. Nie wyzdrowiał — nie wierzył dość mocno. Badanie potwierdziło — dowód. Badanie zaprzeczyło — źle zaprojektowane. Przy takim układzie nie istnieje żaden możliwy wynik świata, który twórca uznałby za przegraną, a to znaczy, że jego twierdzenie nie jest twierdzeniem o świecie. Test na tę pułapkę jest jednym pytaniem: **co musiałoby się stać, żebyś uznał, że się mylisz?** Kto nie potrafi odpowiedzieć, nie przedstawia tezy, a dogmat.

Terapia jest skuteczna.
Argument „żadne badanie jej nie podważyło” nic nie waży: badania nie podważyły terapii, bo z góry postanowiono uznawać każde takie badanie za źle zaprojektowane. Twierdzenie, któremu żaden możliwy wynik nie może zaprzeczyć, nie mówi niczego o świecie.

Przy tych dwóch zasadach żaden wynik badania nie może podważyć tej terapii.
To dokładnie ten wniosek, do którego prowadzą obie przesłanki.

Z tych przesłanek nie wynika nic o skuteczności samej terapii.
Przesłanki opisują sposób obrony tezy, a nie działanie terapii.

Przesłanki nie przesądzają, że według twórcy terapii każdy, kto uwierzył dostatecznie mocno, wyzdrowiał.
Przesądzają: skoro według twórcy każdy, kto nie wyzdrowiał, nie uwierzył dostatecznie mocno, to kto uwierzył dostatecznie mocno, ten wyzdrowiał — to kontrapozycja jego reguły. Nic to nie mówi o tym, czy terapia naprawdę działa.

Wyzdrowienie po tej terapii zależy od siły wiary pacjenta.
To powtórzenie wymówki twórcy jako ustalenia. Nikt nie zmierzył ani wiary, ani jej związku z wyzdrowieniem.

Teza pana Jana ma taką budowę, że każdy możliwy wynik poszukiwań ją potwierdza. Ktoś znajduje ślady — jest grupa. Nikt niczego nie znajduje — grupa jest tak dobrze ukryta, że jest. Jeśli oba wyniki prowadzą do tego samego wniosku, żaden z nich nic o grupie nie mówi; gdyby ślady świadczyły za grupą, ich brak musiałby choć trochę świadczyć przeciw niej. To nie znaczy, że grupa nie istnieje: tajne grupy bywają prawdziwe. Znaczy tylko, że rozumowanie pana Jana nie jest powodem, by w nią wierzyć, bo zadziałałoby tak samo, gdyby żadnej grupy nie było. Test jest jeden: co musiałoby się stać, żeby pan Jan uznał, że się mylił?

Grupa pana Jana ustawiła w ciągu ostatnich pięciu lat większość przetargów w mieście.
Teza zakłada, że grupa istnieje i działa na dużą skalę, a jedyną podstawą jest to, że urząd niczego nie znalazł, a pan Jan uznaje to za dowód ukrywania się. Ten wniosek traktuje brak śladów jako ślad. Gdyby urząd coś znalazł, pan Jan też by powiedział „jest", więc kontrola nie mogła mu zaszkodzić — a skoro nie mogła, to jej wynik nie może też być dowodem.

Czy kontrola coś znajdzie, czy nie — pan Jan uzna istnienie grupy za potwierdzone.
Przesłanki mówią o dwóch możliwych wynikach: ślady znalezione i ślady niewykryte. W obu pan Jan dochodzi do „jest". Tego wniosku nie ma w żadnym zdaniu osobno — wynika dopiero ze złożenia obu.

Z wypowiedzi pana Jana nie wynika, że grupa istnieje, bo żaden wynik kontroli nie mógłby mu przeczyć.
Rozumowanie, które dałoby ten sam wniosek, gdyby grupy w ogóle nie było, nie jest powodem, by w nią wierzyć. To nie znaczy, że grupy nie ma — tylko że pan Jan nie podał niczego, co by o jej istnieniu świadczyło.

O tym przesłanki milczą: po kontroli, która niczego nie wykryła, pan Jan nadal będzie twierdził, że grupa istnieje.
Wynika z drugiej i trzeciej przesłanki: gdy nikt śladów nie znajduje, pan Jan mówi, że grupa tak dobrze się ukrywa, że na pewno jest. Urząd niczego nie znalazł, więc pan Jan zostanie przy swoim.

Po kontroli pięciu lat przetargów, w której urząd niczego nie znalazł, wiadomo już, że takiej grupy w mieście nie ma.
To odwrotność błędu pana Jana: brak śladów miałby dowodzić braku grupy. Kontrola mogła niczego nie zauważyć, więc z przesłanek wynika najwyżej, że ślady się nie znalazły.

Urząd niczego nie znalazł, bo urzędnicy sami należą do tej grupy i nie chcieli jej wykryć.
Przesłanki mówią tylko, że urząd nie znalazł śladów — nie mówią dlaczego. Zarzut, że urzędnicy należą do grupy, to nowa teza w tej samej konstrukcji: wyjaśnia brak śladów, ale też nie da się go sprawdzić.

Ten przypadek jest odwrotnością dogmatu. Trener stawia tezę i od razu mówi, co by ją obaliło: jeśli po ośmiu tygodniach czas Marty nie skróci się o co najmniej minutę, uzna, że plan nie działa. Marta biega 5 km w 30 minut, więc wynik 29 minut i 30 sekund oznaczałby skrócenie tylko o pół minuty — za mało, i trener sam musiałby przyznać, że plan zawiódł. Taka teza coś mówi o świecie, bo zakazuje pewnych wyników. Nie znaczy to, że jest prawdziwa: może się okazać fałszywa, i właśnie to ją wyróżnia. Nie każde stanowcze twierdzenie jest dogmatem. Dogmat zaczyna się dopiero tam, gdzie po złym wyniku pojawia się wymówka: „za mało się starałaś".

Gdyby po ośmiu tygodniach czas Marty skrócił się tylko o pół minuty, trener musiałby uznać, że plan nie działa.
Pół minuty (na przykład 29:30 zamiast 30:00) to mniej niż wymagana minuta. Przy takim wyniku trener według własnych słów musiałby przyznać, że plan nie działa.

Z tych przesłanek nie wynika, że trener broni swojej tezy za wszelką cenę, bo sam mówi, co by ją obaliło.
Trener nie zastrzegł sobie wymówki — z góry wskazał wynik, po którym wycofa tezę. Teza, którą można obalić, nie jest bronioną za wszelką cenę, nawet jeśli jest wypowiedziana z pewnością.

Plan trenera skróci czas Marty na 5 kilometrów o co najmniej minutę w ciągu ośmiu tygodni.
To zapowiedź trenera podana jako wynik. Tezę podpiera pewność trenera co do planu, ale pewność nie jest dowodem. Przesłanki mówią, co trener obiecuje i jak to sprawdzić, a wyniku jeszcze nie ma.

Z przesłanek nie wynika, że przy czasie gorszym niż obecne 30 minut trener musiałby uznać, że plan nie działa.
Wynika: żeby plan się obronił, czas Marty musi spaść do 29 minut lub mniej. Wynik 30 minut albo wolniejszy nie skraca go o minutę, więc trener według własnych słów uznałby plan za nieskuteczny.

Marta biega teraz 5 kilometrów w czasie krótszym niż 29 minut.
To sprzeczne z drugą przesłanką: Marta biega teraz 5 km w 30 minut, a nie szybciej. To właśnie od tej liczby trener liczy wymagane skrócenie o minutę.

Jeśli czas Marty nie skróci się o minutę, to znaczy, że za mało się starała, a plan jest dobry.
Trener nie powiedział nic o tym, czy Marta się starała — powiedział, że przy wyniku gorszym niż minuta uzna plan za nieskuteczny. Takie zdanie byłoby dopiero dogmatem: wymówką dodaną po fakcie.

Pierwsza przepowiednia proroka była jasna i sprawdzalna: koniec świata we wtorek. Nie sprawdziła się. Zamiast przyznać błąd, prorok dołożył zdanie, które zamienia porażkę w sukces: świat uratowały modlitwy. Tego dodatku nie da się sprawdzić, bo nie ma jak zobaczyć świata, który skończył się mimo modlitw. Za rok powtórzy się ten sam ruch: koniec świata będzie potwierdzeniem przepowiedni, a jego brak — dowodem na moc modlitw. Teza przestaje więc czegokolwiek zakazywać. Brak końca świata nie dowodzi też, że modlitwy zadziałały: świat stałby tak samo, gdyby przepowiednia po prostu była błędna. Pytanie kontrolne jest jedno: co musiałoby się wydarzyć, żeby prorok przyznał, że się mylił?

Jeśli uczniowie proroka będą się modlić mniej niż dotąd, to świat się skończy.
To zdanie powtarza tłumaczenie proroka jako ustalenie. Tezę podpiera zapewnienie proroka, że bez modlitw świat by się skończył. Nie ma jednak żadnego sposobu, by sprawdzić, co by się stało bez modlitw, więc równie dobrze świat mógł po prostu się nie skończyć, bo przepowiednia była błędna.

Czy za rok świat się skończy, czy nie, prorok powie, że potwierdziło się to, co mówił.
Koniec świata prorok uzna za spełnienie przepowiedni, a jego brak — za skutek modlitw. Do tego wniosku trzeba złożyć dwa jego zdania; żadne z nich osobno go nie podaje.

Z samego braku końca świata we wtorek nie wynika, że uratowały go modlitwy uczniów.
Świat stałby, tak samo jak stoi, także wtedy, gdy przepowiednia po prostu była błędna. Fakt, że nic się nie stało, pasuje do obu wyjaśnień, więc nie wskazuje żadnego z nich.

Z przesłanek nie wynika, że przepowiednię proroka na wtorek dało się sprawdzić.
Wynika: koniec świata we wtorek albo nastąpi, albo nie, i wystarczy zobaczyć, co się wtedy stanie. Tę przepowiednię dało się sprawdzić i sprawdzono ją; niesprawdzalny jest dopiero dodatek o modlitwach.

Prorok od początku wiedział, że świat się nie skończy, i celowo wprowadzał ludzi w błąd.
Przesłanki nie mówią nic o tym, co prorok wiedział ani czego chciał. Mógł szczerze wierzyć w obie swoje tezy — a błąd tkwi w tym, jak je ustawił, a nie w jego zamiarach.

Gdy dwie rzeczy idą w parze, są dokładnie cztery możliwości: pierwsza powoduje drugą, druga powoduje pierwszą, coś trzeciego powoduje obie, albo to czysty przypadek. Tysiące zbadanych dzieci wykluczają w praktyce tylko tę ostatnią. Pozostałe trzy rozstrzyga wyłącznie eksperyment, czyli sytuacja, w której badacz sam przydziela czynnik — losowo — i porównuje z grupą kontrolną. Tutaj nikomu nic nie przydzielono, więc nie da się odróżnić wpływu książek od wpływu domu, w którym te książki stoją. I nie jest to wada tego konkretnego badania: badanie obserwacyjne nie rozstrzygnie tego nigdy, choćby objęło milion dzieci. Właśnie na tym poślizgnęła się wielka kohorta pielęgniarek, z której wyszło, że terapia hormonalna chroni serce — a chroniło je to, że brały ją kobiety zamożniejsze i zdrowsze.

Liczba książek w domu pozwala przewidywać oceny dziecka lepiej niż losowe zgadywanie.
To właśnie wolno zrobić ze współwystępowaniem: przewidywać. Zależność zmierzono na tysiącach dzieci, więc daje przewagę nad losowym zgadywaniem — i nie wymaga wiedzy o tym, co jest tu przyczyną.

Jeśli kupisz dziecku dużo książek, będzie mieć lepsze oceny.
Ten wniosek obiecuje skutek działania, a w badaniu nikt nic nie zrobił — tylko policzono. Książki mogą być nie przyczyną dobrych ocen, a kolejnym znakiem tego, jaki jest ten dom.

Najprawdopodobniej jedno i drugie bierze się z tego samego — na przykład z tego, że rodzice sami dużo czytają.
To najprawdopodobniejsze wyjaśnienie i samo zdanie jest uczciwie ostrożne ("najprawdopodobniej"). Ale badanie tego nie sprawdzało — trzeba by porównać dzieci rodziców podobnie czytających.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby wykluczyć, że ta zależność jest po prostu dziełem przypadku.
Jest. Z czterech możliwości rozdziału — książki na oceny, oceny na książki, wspólna przyczyna, przypadek — zbadanie tysięcy dzieci wyklucza w praktyce właśnie przypadek. Nierozstrzygnięte zostają trzy pierwsze, a nie ta jedna.

To dobre oceny sprawiają, że rodzice kupują dziecku więcej książek.
Same dane nie mówią, co było pierwsze, więc tego wyjaśnienia nie da się ani odrzucić, ani wybrać. Jest jednak mniej prawdopodobne, bo książki w domu zwykle są wcześniej niż pierwsze oceny.

Książki w domu nie mają nic wspólnego z ocenami dziecka.
To zdanie kłóci się z samą przesłanką. Związek zmierzono na tysiącach dzieci — nierozstrzygnięte jest tylko to, skąd się bierze, a nie czy istnieje.

Wśród 300 pożarów straty rosły razem z liczbą wozów strażackich: przy pięciu wozach były średnio 20 razy większe niż przy jednym. Z tego łatwo wyciągnąć wniosek, że wozy coś niszczą. Ale do większych pożarów wysyła się więcej wozów, a większy pożar niszczy więcej, nawet gdy jest gaszony. Wielkość pożaru jest więc czynnikiem trzecim, który może sam podnosić i liczbę wozów, i straty. Przy takiej zależności wozy mogłyby w ogóle nie wpływać na straty, a nawet je zmniejszać, i dane wyglądałyby tak samo. Odróżnić te możliwości mógłby tylko eksperyment, w którym wozy trafiałyby do pożarów losowo, a tego nikt nie zrobi. Wspólna przyczyna siedzi w tle i nie została w danych zmierzona.

Straty mogły być większe przy pięciu wozach tylko dlatego, że do większych pożarów wysyła się więcej wozów.
Większy pożar sprowadza więcej wozów i sam niszczy więcej. Liczby wyglądałyby tak samo, nawet gdyby wozy w ogóle nie wpływały na straty. Wniosek mówi tylko, że takie wyjaśnienie jest możliwe, i to z przesłanek wynika.

Z tych danych nie wynika, że wysłanie jednego wozu zamiast pięciu zmniejszyłoby straty w tym samym pożarze.
Dane porównują różne pożary, a nie ten sam pożar gaszony raz jednym wozem, raz pięcioma. Skoro pożary z pięcioma wozami były też większe, nie wiemy, co zrobiłaby zmiana liczby wozów w tym samym pożarze, więc takie zmniejszenie strat nie wynika.

To wozy strażackie powodują większe straty w pożarach, do których je wysłano.
To przejście od współwystępowania do przyczyny: zdanie opiera się na tym, że przy pięciu wozach straty są większe niż przy jednym. Do większych pożarów wysyła się więcej wozów, a duży pożar sam niszczy więcej, więc liczby da się wyjaśnić wielkością pożaru, bez żadnej szkody wyrządzanej przez wozy.

Pożary, do których wysłano pięć wozów, kończyły się średnio mniejszymi stratami niż te z jednym wozem.
Kierunek jest odwrócony. Przy pięciu wozach straty były średnio 20 razy większe, a nie mniejsze niż przy jednym.

Strażacy przyjeżdżają później tam, gdzie wysyła się pięć wozów, dlatego straty są wtedy większe.
O czasie dojazdu przesłanki nie mówią nic. To dopisana przyczyna; tymczasem w przesłankach jest inne, prostsze wyjaśnienie — wielkość pożaru.

Przesłanki nie przesądzają, że liczba wysłanych wozów pozwala trafniej niż losowo zgadnąć wysokość strat.
Wynika. Zależność zmierzono na trzystu pożarach i jest bardzo silna — dwudziestokrotna różnica strat. Liczba wozów daje więc realną przewagę nad losowym zgadywaniem, i to bez wiedzy o tym, co jest tu przyczyną. Przewidywanie to jedyne, co wolno; obwinianie wozów już nie.

Uczniowie z większymi numerami butów czytają szybciej, ale do szkoły chodzą dzieci od pierwszej do szóstej klasy. Starsze mają większe stopy i starsze czytają szybciej, bo mają za sobą więcej lat nauki. Wiek jest więc czynnikiem trzecim, który podnosi jedno i drugie naraz. Numer buta nie musi niczego powodować: szóstoklasista czyta szybciej od pierwszoklasisty nie dlatego, że ma większe buty, tylko dlatego, że jest starszy. Zebrane dane tego nie rozróżnią, bo mierzą tylko numery butów i szybkość czytania, a nie to, co za jednym i drugim stoi. Dopiero porównanie dzieci w tym samym wieku mogłoby pokazać, czy stopa cokolwiek znaczy. Z samej zależności numeru buta i szybkości czytania nie wynika więc, że większe buty cokolwiek poprawią.

Uczniowie z większymi butami mogą czytać szybciej tylko dlatego, że są starsi, a nie przez wielkość stóp.
Starsze dzieci mają większe stopy i czytają szybciej, więc wiek wystarcza, by obie liczby rosły razem. Wniosek mówi tylko, że takie wyjaśnienie jest możliwe, a nie że jest jedyne — i dokładnie tyle wynika z przesłanek.

Z tych pomiarów nie wynika, że uczeń po zmianie butów na większe zacznie szybciej czytać.
Pomiary porównują różne dzieci, a nikt nie sprawdził, co się dzieje z jednym dzieckiem po zmianie butów. Skoro za różnicą może stać wiek, nie wynika, że większe buty przyspieszą czytanie.

Duże buty pomagają dzieciom w czytaniu.
To przejście od zależności do przyczyny: zdanie zakłada, że skoro uczniowie z większymi numerami butów czytają szybciej, to buty im pomagają. Starsi uczniowie mają większe stopy i czytają szybciej, więc obie liczby rosną razem, choć buty niczego nie poprawiają. Przesłanki pokazują związek, a nie działanie.

W tej szkole szybciej czytają uczniowie z mniejszymi numerami butów niż ci z większymi.
Kierunek jest odwrócony. Przesłanka mówi, że szybciej czytają uczniowie z większymi numerami butów, a nie z mniejszymi.

Im szybciej dziecko czyta, tym szybciej rosną mu stopy, dlatego szybcy czytelnicy mają większe buty.
Przesłanki nie dają żadnych podstaw, by czytanie przyspieszało wzrost stóp. To inny wymyślony kierunek zależności, a prostsze wyjaśnienie — że za obiema liczbami stoi wiek dziecka — nasuwa się samo, gdy pamięta się, że w tej szkole są klasy od pierwszej do szóstej.

Z przesłanek nie wynika, żeby numer buta pozwalał trafniej niż losowo zgadnąć, jak szybko uczeń czyta.
Wynika. Zależność zmierzono na całej szkole, więc numer buta daje przewagę nad losowym zgadywaniem — i to jedyna rzecz, którą ze współwystępowania wolno zrobić. Nie wynika z niej nic o przyczynie, ale przewidywanie nie wymaga znajomości przyczyny.

W dni z dużą liczbą parasoli na pogotowie trafiało średnio 30 osób po poślizgnięciu się, a w dni z małą liczbą 10, czyli trzy razy mniej. Jedno i drugie dzieje się jednak w tych samych dniach z tego samego powodu: gdy pada deszcz, ludzie wyjmują parasole, a mokre chodniki są śliskie. Deszcz jest czynnikiem trzecim, który podnosi liczbę parasoli i liczbę poślizgnięć naraz. Liczby wyglądałyby tak samo, nawet gdyby parasole w ogóle nie wpływały na to, czy ktoś się poślizgnie. Dwa wskaźniki mogą rosnąć razem, choć żaden nie jest przyczyną drugiego; wspólna przyczyna siedzi w tle i nie została w danych zmierzona.

Deszcz sam mógłby sprawić, że w tych samych dniach jest i więcej parasoli, i więcej poślizgnięć.
Gdy pada, ludzie wyjmują parasole, a chodniki robią się mokre i śliskie. Jeden deszcz podnosi więc obie liczby naraz. Wniosek mówi tylko, że takie wyjaśnienie jest możliwe, i to z przesłanek wynika.

Z tych liczb nie wynika, że bez parasoli ludzie ślizgaliby się rzadziej.
Liczono tylko parasole i urazy w różne dni, a nikt nie sprawdzał, co się stanie, gdy ludzie zostawią parasole w domu. Skoro obie liczby może podnosić deszcz, wpływ samego parasola z danych nie wynika.

Parasole utrudniają chodzenie i to one są powodem większej liczby poślizgnięć w deszczowe dni.
To przejście od współwystępowania do przyczyny, w dodatku z dopisanym mechanizmem. Mokry chodnik, a nie parasol, może wystarczyć, by w deszczowe dni było więcej poślizgnięć, więc przesłanki nie dają podstaw, by winić parasole.

W dni z małą liczbą parasoli na pogotowie zgłaszało się trzy razy więcej osób z urazem niż w dni z dużą.
Dni są zamienione: 30 osób dziennie zgłaszało się w dni z dużą liczbą parasoli, a 10 w dni z małą, a nie na odwrót.

Liczba parasoli na ulicach nie miała nic wspólnego z liczbą osób zgłaszających się z urazem.
Przesłanka pokazuje wyraźną zależność: 30 zgłoszeń dziennie przy dużej liczbie parasoli i 10 przy małej. Wniosek, że nie ma żadnego związku, temu zaprzecza. Pytanie brzmi nie „czy liczby idą razem", tylko „dlaczego".

Przesłanki nie przesądzają, że liczba parasoli na ulicy pozwala trafniej niż losowo zgadnąć liczbę urazów.
Wynika. Liczono przez rok, a różnica jest trzykrotna: trzydzieści zgłoszeń dziennie przy wielu parasolach, dziesięć przy ich braku. Licząc parasole, trafiamy w liczbę urazów lepiej niż losowo — i nie musimy wiedzieć, dlaczego. Przyczyny to osobne pytanie.

Ze zdania „jeśli A, to B" wynika dokładnie jedna rzecz poza nim samym: jeśli nie ma B, to nie było A. Nie wynika natomiast ani że B oznacza A, ani że brak A oznacza brak B. Deszcz jest tu wystarczającym powodem wzięcia parasola, ale nic w przesłance nie mówi, że jedynym: zostaje prognoza, przyzwyczajenie, parasol zapomniany wczoraj w plecaku. Dlatego z parasola nie wyczytamy pogody, a z braku deszczu nie wyczytamy, że parasol został w domu.

Dziś rano padał deszcz.
Zdanie zostało odwrócone. Deszcz wystarcza, żeby Marek wziął parasol, ale nie jest jedynym powodem — mogła go wystraszyć prognoza.

W dniu, w którym Marek nie bierze parasola, rano nie padało.
To jedyne poprawne odwrócenie: skoro przy deszczu Marek bierze parasol zawsze, to brak parasola wyklucza deszcz.

Nie wiemy, czy dziś rano padało.
Parasol jest zgodny i z deszczem, i z jego brakiem, więc pogoda zostaje nierozstrzygnięta.

Czasem, gdy rano pada deszcz, Marek zostawia parasol w domu.
To zdanie zaprzecza pierwszej przesłance: skoro Marek bierze parasol zawsze, gdy rano pada, to nie ma dnia z deszczem i bez parasola. Pytanie nie dotyczy tu dowodu, tylko zgodności z tym, co podano.

Z przesłanek nie wynika, żeby sam deszcz wystarczał, by Marek wziął parasol.
Wynika: skoro Marek bierze parasol zawsze, gdy rano pada, to deszcz wystarcza, by go wziął. Nie wynika tylko, że deszcz jest do tego potrzebny — parasol może wziąć też z innego powodu.

Marek mógł wziąć parasol z powodu prognozy, nawet jeśli rano nie padało.
Dobrze pokazuje, dlaczego odwrócenie nie działa, ale samo w sobie jest tylko domysłem — przesłanki nie mówią nic o prognozach ani o nawykach Marka.

Ze zdania „jeśli A, to B" wynika dokładnie jedna rzecz poza nim samym: jeśli nie ma B, to nie było A. Tu A to „Kasia ma trening", a B to „wraca po 18:00". W poniedziałek i w środę B nie zaszło — Kasia była w domu przed 18:00 — więc w te dni nie mogła mieć treningu, bo gdyby go miała, wróciłaby późno. We wtorek B zaszło, ale to niczego nie dowodzi: późny powrót jest skutkiem treningu, a może mieć też inne przyczyny, jak wizyta u babci, zakupy czy spacer z koleżanką. Zdanie nie mówi, że po 18:00 wraca tylko po treningu. Nie mówi też, że w dni bez treningu zawsze wraca wcześnie. Trening jest wystarczającym powodem późnego powrotu, ale późny powrót nie jest dowodem treningu.

Poniedziałek był dniem bez treningu koszykówki.
Gdyby Kasia miała trening, wróciłaby po 18:00, bo tak dzieje się zawsze. Wróciła o 17:00, więc treningu nie było. To jedyny kierunek, w którym ta reguła działa pewnie.

Z późnego powrotu we wtorek nie wynika, że Kasia miała tego dnia trening koszykówki.
Trening jest wystarczającym powodem późnego powrotu, ale nie jedynym — o 19:00 Kasia mogła wrócić po zakupach albo po spacerze z koleżanką. Późny powrót nie dowodzi więc treningu, choć go też nie wyklucza.

Gdy Kasia wraca do domu tak późno, jak po treningu, wiadomo, że tego dnia miała trening koszykówki.
To odwrócone zdanie: trening powoduje późny powrót, ale z późnego powrotu nie wynika trening. Kasia mogła wrócić równie późno po zakupach albo po spacerze z koleżanką, tak jak we wtorek o 19:00.

W dni, w których Kasia nie ma treningu, zawsze wraca do domu wcześniej, niż wraca po treningu.
To odwrócenie w drugą stronę. Przesłanka mówi, co się dzieje w dni z treningiem, a o dniach bez treningu milczy: Kasia mogła wtedy wracać późno z innych powodów.

Nie da się ustalić z przesłanek, czy w środę Kasia miała trening koszykówki.
Da się: w środę Kasia wróciła o 17:30, czyli przed 18:00, a po treningu wraca zawsze później. Środa jest więc takim samym przypadkiem jak poniedziałek — treningu nie było.

Zdanie mówi: kto przekroczył 90 punktów, ten dostał dyplom. Z takiego zdania wynika jedno: kto dyplomu nie dostał, ten nie przekroczył 90 punktów — czyli Ola miała co najwyżej 90, a nie, powiedzmy, mniej niż Marta. Nie wynika natomiast nic w drugą stronę. Filip dostał dyplom, ale mógł go dostać za 95 punktów, a równie dobrze za coś innego, o czym zdanie milczy: podaje ono, kiedy dyplom na pewno jest, a nie kiedy go nie ma. Marta zdobyła 85 punktów, więc granicy nie przekroczyła i reguła jej nie dotyczy — ale „nie dotyczy" to nie to samo co „zakazuje": mogła dyplom dostać i mogła nie dostać. Warto za każdym razem sprawdzić, czy przesłanka mówi „tylko wtedy", czy tylko „wtedy na pewno". Tu mówi to drugie.

Wynik Oli nie był wyższy niż 90 punktów — gdyby był, miałaby dyplom, a go nie dostała.
Gdyby Ola zdobyła więcej niż 90 punktów, dostałaby dyplom, bo tak było z każdym takim uczestnikiem. Dyplomu nie dostała, więc więcej niż 90 punktów nie zdobyła.

Z tego, że Marta zdobyła tylko 85 punktów, nie wynika, że nie dostała dyplomu.
Zdanie mówi, kiedy dyplom na pewno jest (powyżej 90 punktów), a nie, kiedy go nie ma. Marta granicy nie przekroczyła, więc reguła milczy: mogła dyplom dostać z innego powodu i mogła nie dostać.

Uczestnik konkursu, który zdobył 90 punktów lub mniej, nie dostał dyplomu.
To zamienia „powyżej 90 punktów wystarcza do dyplomu" na „bez przekroczenia 90 punktów nie ma dyplomu". Pierwsze jest w przesłankach, drugie jest dopisane: o uczestnikach z mniejszym wynikiem zdanie nic nie mówi, więc taki uczestnik jak Marta mógł dyplom dostać z innego powodu.

Filip, który dostał dyplom, zdobył w konkursie więcej niż 90 punktów.
Zdanie mówi, że wynik powyżej 90 punktów daje dyplom, a nie że dyplom oznacza wynik powyżej 90. Filip mógł dostać dyplom z innego powodu, więc jego liczba punktów jest nieznana.

Ola, która nie dostała dyplomu, zdobyła w konkursie mniej punktów niż Marta.
Z braku dyplomu wynika tylko, że Ola miała co najwyżej 90 punktów. Marta miała 85, a Ola mogła zdobyć 86, 88 albo 90, czyli więcej od Marty — przesłanki tego nie wykluczają.

Z podanych zdań nie da się ustalić, czy Marta zdobyła więcej niż 90 punktów.
Da się: Marta zdobyła 85 punktów, a 85 to mniej niż 90, więc granicy nie przekroczyła. To odpowiedź wprost z drugiej przesłanki i nie wymaga żadnej wiedzy o dyplomach.

Dwa zdania „jeśli… to…" stojące jedno za drugim tworzą łańcuch: śnieg prowadzi do lodu, a lód do spóźnienia. Wolno iść nim do przodu (śnieg, więc spóźnienie) i — to jedyne, co wolno — cofać się po brakach: skoro w poniedziałek spóźnienia nie było, nie było lodu, a skoro nie było lodu, nie sypał śnieg. Natomiast cofanie się po obecności nie działa. We wtorek autobus się spóźnił, ale nie wiemy, że był lód, a tym bardziej że sypał śnieg: spóźnić się można z wielu powodów, a lód może pojawić się także bez śniegu, po mrozie. Podobnie nie wynika, że w nocy bez śniegu autobus przyjedzie punktualnie. Łańcuch przyczyn działa tylko w jedną stronę, tak jak pojedyncze zdanie.

Nocą przed poniedziałkiem śnieg nie padał, bo autobus szkolny nie spóźnił się tego dnia.
To działa przez dwa kroki wstecz: gdyby w nocy sypał śnieg, drogi byłyby oblodzone, a wtedy autobus by się spóźnił. Autobus się nie spóźnił, więc lodu nie było, a skoro nie było lodu, to śnieg nie sypał.

Ze spóźnienia autobusu we wtorek nie wynika, że nocą przed wtorkiem sypał śnieg.
Śnieg prowadzi do lodu, a lód do spóźnienia, ale autobus mógł się spóźnić z zupełnie innego powodu, na przykład przez awarię, a lód mógł powstać po mrozie bez śniegu. Ze spóźnienia nie da się cofnąć do śniegu.

Oblodzone drogi rano oznaczają, że w nocy sypał śnieg.
To odwrócenie pierwszego zdania: śnieg prowadzi do lodu, ale lód nie prowadzi z powrotem do śniegu. Drogi mogą być oblodzone po samym mrozie, bez żadnych opadów.

Kiedy w nocy nie sypie śnieg, autobus szkolny zawsze przyjeżdża do szkoły punktualnie.
To dopisuje regułę, której nie ma. Przesłanki mówią, co się dzieje po śniegu, a o nocach bez śniegu milczą: autobus może się spóźnić także z innych powodów, na przykład przez lód po mrozie bez opadów.

Nie wiadomo na podstawie przesłanek, czy w poniedziałek rano drogi były oblodzone.
Da się: autobus przyjechał punktualnie, a przy oblodzonych drogach spóźnia się zawsze, więc lodu nie było. To jeden krok wstecz; brak śniegu wymaga drugiego kroku.

Liczba wyzdrowień sama nie mówi nic, dopóki nie wiemy, ile dzieci wyzdrowiałoby bez syropu. Dlatego eksperyment zawsze potrzebuje grupy kontrolnej, i to takiej, która nie różni się od badanej niczym poza badanym czynnikiem. Gdyby w grupie bez syropu wyzdrowiało 950 dzieci, te same 900 byłoby dowodem, że syrop szkodzi. Dodatkowo samo podanie czegokolwiek potrafi zmienić wynik — w fabryce Hawthorne produktywność rosła i po zwiększeniu, i po zmniejszeniu oświetlenia, bo robotnicy reagowali na to, że ktokolwiek ich bada.

Syrop wyleczył 900 dzieci.
Nie ma z czym tego porównać. Bez grupy, która syropu nie dostała, nie wiemy, czy te dzieci nie wyzdrowiałyby tak samo.

Dziewięć na dziesięć dzieci, które dostały syrop, wyzdrowiało w ciągu tygodnia.
To przeliczenie przesłanki na procenty i nic więcej — o syropie nie twierdzi nic.

Bez porównania z dziećmi, które syropu nie dostały, nie wiemy, czy syrop cokolwiek zmienił.
Dokładnie tak. To zdanie nie przypisuje syropowi ani skuteczności, ani jej braku — mówi tylko, czego w tych danych brakuje.

Ten syrop nie działa.
Brak grupy kontrolnej nie dowodzi, że syrop nie działa — tak samo jak nie dowodzi, że działa. Źle zrobione badanie nie wykazuje niczego: syrop może być świetny, tylko tego nie sprawdzono.

O tym przesłanki milczą: ilu z tych dzieci było po tygodniu jeszcze chorych.
Wynika: tysiąc dzieci minus dziewięćset, które wyzdrowiały, to sto, które po tygodniu wciąż chorowały. Wystarczy odjąć — brak grupy kontrolnej zabiera dopiero prawo do wniosku o syropie.

Katar u dzieci zwykle mija w tygodniu sam, więc te 900 wyzdrowiałoby i bez syropu.
Najprawdopodobniej prawda i dobrze wyjaśnia te liczby, ale wiedza o tym, jak długo trwa katar, pochodzi spoza przesłanek. Właśnie tę liczbę miałaby podać grupa kontrolna.

Średnia klasy 6a rzeczywiście wzrosła, o 0,3 stopnia. Samo to nie mówi jednak, co ten wzrost spowodowało, bo nie wiemy, jak zmieniłyby się oceny tej klasy, gdyby ćwiczeń nie było. Uczniowie w ciągu semestru dorastają, oswajają się z materiałem i z nauczycielem, a niektóre tematy bywają prostsze — więc oceny mogły pójść w górę same. Dopiero porównanie z klasą, która jest podobna, ale ćwiczeń nie robi, pokazałoby, ile z tych 0,3 zawdzięczamy ćwiczeniom. Gdyby i tam średnia wzrosła o tyle samo, ćwiczenia nie byłyby do wyjaśnienia wzrostu w ogóle potrzebne. Bez grupy kontrolnej mamy liczbę „po”, ale nie mamy punktu odniesienia dla pytania „po czym?”.

Gdyby średnie w klasach bez ćwiczeń też wzrosły o 0,3, to ćwiczenia nie byłyby potrzebne do wyjaśnienia wzrostu w 6a.
Średnia w 6a wzrosła o 0,3 (3,7 minus 3,4). Gdyby ten sam wzrost zdarzył się w klasach bez ćwiczeń, wzrost w 6a miałby wyjaśnienie bez ćwiczeń. Przesłanki nie mówią, jak było w innych klasach, więc zdanie jest warunkowe, ale na pewno prawdziwe — pokazuje, czego brakuje do wniosku.

Każda klasa, która zacznie lekcje matematyki od pięciu minut ćwiczeń, podniesie średnią o około trzy dziesiąte stopnia.
To przypisuje ćwiczeniom cały wzrost o 0,3 i rozciąga go na każdą klasę, choć nie ma klasy porównawczej, która pokazałaby, ile średnia wzrosłaby bez nich. Liczba 0,3 jest w danych, ale jej sprawca — niekoniecznie.

Z samego wzrostu średniej w klasie 6a w ciągu semestru nie wynika, że podniosły ją ćwiczenia.
Wzrost jest faktem, ale jego przyczyna to osobna sprawa. Bez klasy, która nie robiła ćwiczeń, nie wiemy, jak wyglądałaby średnia 6a bez nich, więc nie wiemy, ile z tych 0,3 zawdzięcza się ćwiczeniom — i czy w ogóle coś.

W drugim semestrze średnia z matematyki w klasie 6a spadła w porównaniu z początkiem semestru.
Druga przesłanka podaje 3,4 na początku semestru i 3,7 na końcu, czyli wzrost. Ten wniosek mówi odwrotnie, więc jest sprzeczny z danymi.

Z przesłanek nie wynika, żeby średnia z matematyki w klasie 6a wzrosła w semestrze o mniej niż pół stopnia.
Wynika: średnia wzrosła z 3,4 do 3,7, czyli o 0,3 stopnia, a to mniej niż pół. Nie wynika tylko to, dlaczego wzrosła. Zdanie odmawia wyniku jednego odejmowania na liczbach z przesłanek.

Oceny wzrosły dlatego, że uczniowie 6a zaczęli się więcej uczyć w domu, a ćwiczenia nie miały znaczenia.
Przesłanki nic nie mówią o nauce w domu. To jedna z wielu możliwych przyczyn, podana jak ustalona, i to razem z tezą, że ćwiczenia nie miały znaczenia, której też nie da się uzasadnić.

Drużyna wygrywała po diecie częściej niż przed nią, ale to jeszcze nie znaczy, że zrobiła to dieta. Druga przesłanka podaje inny możliwy powód: zawodnicy wiedzieli, że są testowani i obserwowani, więc mogli grać staranniej niezależnie od tego, co jedzą — tak jak robotnicy w fabryce Hawthorne pracowali lepiej, bo ktoś im się przyglądał. Bez drugiej drużyny, która dostałaby „dietę na niby” i też wiedziałaby, że jest obserwowana, nie da się tych dwóch powodów rozdzielić. Do tego dochodzą rzeczy, o których przesłanki milczą: rywale, kontuzje, wyniki sezonu. Grupa kontrolna ma właśnie to zrobić — dać punkt odniesienia, w którym te wszystkie rzeczy działają tak samo, a różni się tylko dieta.

Drużyna przed dietą częściej przegrywała, niż wygrywała; po diecie było odwrotnie.
W koszykówce każdy mecz ma zwycięzcę, więc 4 wygrane z 10 to 6 porażek, a 7 wygranych to 3 porażki. Przed dietą porażek było więcej niż wygranych (6 do 4), po diecie mniej (3 do 7). To opis wyników, bez zdania o tym, co je spowodowało.

Każda drużyna, która zastosuje tę dietę, będzie wygrywać częściej.
Przesłanki dotyczą jednej drużyny i jednego sezonu, bez porównania z drużyną bez diety. Zdanie zakłada, że dieta zwiększa liczbę zwycięstw, i przenosi „u nas po diecie było lepiej” na „każda drużyna z dietą wygra więcej” — to dwa przeskoki naraz.

Z poprawy wyników nie wynika, że pomogła dieta — zawodnicy wiedzieli, że trener ich obserwuje.
Druga przesłanka podaje drugi możliwy powód poprawy: zawodnicy wiedzieli, że ich testują i obserwują, więc mogli bardziej się starać niezależnie od jedzenia. Bez drużyny, która dostałaby „dietę na niby”, tych dwóch powodów nie da się rozdzielić.

Dieta daje zawodnikom więcej siły w końcówkach meczów, dlatego drużyna częściej wygrywa wyrównane spotkania.
To mechanizm, którego nie ma w przesłankach: nic nie mówią o końcówkach meczów ani o sile zawodników. Zdanie dopowiada, jak dieta miałaby działać, zanim wiadomo, czy w ogóle działa.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że w tych dwudziestu meczach drużyna wygrała w sumie jedenaście razy.
Wynika: przed dietą drużyna wygrała 4 mecze z 10, a po diecie 7 z 10, więc w dwudziestu meczach razem wygrała 4 plus 7, czyli jedenaście razy. Czego nie da się z tych liczb wyczytać, to powód zmiany; sam rachunek jest jednak jednoznaczny.

Po wprowadzeniu diety drużyna grała ze słabszymi rywalami niż wcześniej, i to wyjaśnia całą poprawę wyników.
O rywalach przesłanki milczą, więc nie ma podstaw, by uznać ich za wyjaśnienie. Zdanie podmienia jedno niesprawdzone wyjaśnienie (dietę) na drugie (słabszych rywali) i jeszcze twierdzi, że tłumaczy „całą” poprawę.

Wypadków rzeczywiście ubyło: z ośmiu do pięciu, czyli o trzy, co jest więcej niż jedną trzecią i mniej niż połową. Pytanie brzmi jednak nie „czy ubyło”, tylko „ile ubyłoby bez malowania”. Rok po roku liczba wypadków na jednej ulicy waha się z wielu powodów: pogody, natężenia ruchu, zwykłego szczęścia. Gdyby na podobnych ulicach, których nie malowano, wypadków też ubyło o jedną trzecią, malowanie niczego by nie wyjaśniało. Gdyby tam było tyle samo albo więcej, malowanie mogło pomóc. Trzecia przesłanka mówi, że takiego porównania nie ma: żadnej ulicy kontrolnej nikt nie policzył. Bez niej mamy liczby „przed” i „po”, ale brakuje trzeciej liczby — „po, gdyby nie malowano”.

Liczba wypadków na tej ulicy spadła o więcej niż jedną trzecią, ale o mniej niż o połowę.
Wypadków ubyło trzy: z 8 do 5. Jedna trzecia z 8 to nieco ponad 2,6, a połowa to 4. Ubyło więcej niż 2,6, ale mniej niż 4, więc spadek jest większy niż o jedną trzecią i mniejszy niż o połowę. To rachunek na liczbach z przesłanek, bez zdania o przyczynie.

Malowanie ścieżek rowerowych na czerwono o jedną trzecią zmniejsza liczbę wypadków na każdej ulicy w mieście.
Przesłanki dotyczą jednej ulicy i dwóch lat, bez ulicy porównawczej. Zdanie przenosi ten jeden spadek na wszystkie ulice i dopisuje stałą „o jedną trzecią”, której nikt nie ustalał.

Z przesłanek nie wynika, że spadek liczby wypadków na tej ulicy spowodowało malowanie ścieżki.
Spadek jest faktem, ale nie ma ulicy porównawczej, na której nie malowano, więc nie wiemy, ile wypadków byłoby tu w drugim roku bez malowania. Mogło być 5, mogło być więcej lub mniej — a dopiero ta różnica pokazałaby wpływ malowania.

Miasto pomalowało na czerwono ścieżki rowerowe na wszystkich ulicach, na których takie ścieżki są.
Pierwsza przesłanka mówi, że miasto pomalowało ścieżkę na jednej ulicy, a trzecia, że na żadnej innej ulicy ze ścieżką rowerową nie malowano. Wniosek mówi o wszystkich ulicach, więc jest sprzeczny z przesłankami.

Czerwony kolor widać z dalszej odległości niż szary asfalt, więc kierowcy częściej zdążają zahamować przed rowerzystami.
To mechanizm, który brzmi sensownie, ale przesłanki o widoczności ani o hamowaniu nic nie mówią. Pasuje do spadku, jednak nie pokazuje, że to on go spowodował.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że w obu latach razem rowerzyści mieli na tej ulicy trzynaście wypadków.
Wynika: w roku przed malowaniem było 8 wypadków, a w roku po nim 5, więc łącznie 8 plus 5, czyli trzynaście. Nie wynika tylko, że spadek jest skutkiem malowania; sam rachunek jest jednak jednoznaczny.

Dwa zjawiska idą razem, więc trzeba zdecydować, które popycha które — a dane zmierzone w tym samym tygodniu nie mówią o tym nic. Wersja „wiara w siebie podnosi oceny" prowadzi do rady „chwalmy bez krytyki". Wersja odwrotna — „dobre oceny budują wiarę w siebie" — prowadzi do rady zupełnie innej: pomóżmy dziecku naprawdę coś umieć, a zdanie o sobie przyjdzie samo. Druga wersja jest przy tym bardziej prawdopodobna, bo dziecko ma na potwierdzenie swoich ocen cały dziennik, a wiara niepodparta umiejętnością zderza się z rzeczywistością przy pierwszym sprawdzianie. Rozpoznanie kierunku wymaga albo odstępu w czasie, albo eksperymentu: ten sam rodzaj danych pasuje do obu historii i do trzeciej, w której za jednym i drugim stoi dom.

Chwalmy dzieci bez krytyki, a poprawią się ich oceny.
Równie dobrze to dobre oceny budują zdanie o sobie, a nie odwrotnie. Pomiar w jednym tygodniu nie pokazuje, co było pierwsze — a przy odwrotnym kierunku chwalenie bez pokrycia nic nie da.

Z tych danych nie wynika, czy zdanie o sobie wpływa na oceny, czy oceny na zdanie o sobie.
Pomiar w jednym tygodniu zgadza się z obu kierunkami zależności.

Dane zebrano w jednym tygodniu, więc nie pokazują, co było wcześniej.
Skoro dane zmierzono w jednym tygodniu, nie ma w nich porównania „wcześniej–później”, a bez niego nie widać, co było pierwsze.

To dobre oceny sprawiają, że dziecko lepiej myśli o sobie.
To bardziej prawdopodobna wersja, ale wciąż tylko wersja. Z danych zmierzonych jednocześnie nie wynika ani ona, ani ta przeciwna.

Za jednym i drugim stoi to, co dzieje się w domu dziecka.
Trzecia możliwa historia, równie niepotwierdzona. Dom nie został w tym badaniu zmierzony.

Zależność „im więcej strażaków, tym więcej pożarów” można odczytać na dwa sposoby: strażacy jakoś pożary zwiększają albo miasta, w których pożarów jest dużo, zatrudniają więcej strażaków. Druga przesłanka rozstrzyga to przynajmniej w dwóch miastach: dodatkowych strażaków przyjęto tam dopiero po tym, jak pożarów zrobiło się dużo, a przyczyna nie może przyjść po skutku. Zamiana kierunku jest więc uczciwa tylko dla tych dwóch miast; o pozostałych dziesięciu nie wiemy, co było pierwsze. Porównanie dwunastu miast w jednym roku nie mówi też, co stałoby się w mieście, które doda albo zwolni strażaków, więc rada „zwolnijmy strażaków, a pożarów będzie mniej” nie ma w nim oparcia. Nie ma go również trzecie wyjaśnienie, na przykład wielkość miasta — dane o tym milczą.

W tych dwóch miastach dodatkowi strażacy nie mogli wywołać dużej liczby pożarów, bo pojawili się dopiero po nich.
Przyczyna nie może przyjść po skutku. Druga przesłanka mówi, że dodatkowych strażaków przyjęto dopiero wtedy, gdy pożarów było już dużo, więc w tych dwóch miastach to nie oni mogli je wywołać. Zdanie dotyczy tylko tych dwóch miast — o pozostałych dziesięciu przesłanki nic takiego nie mówią.

Jeśli miasto zwolni połowę swoich strażaków, to w następnym roku będzie w nim o połowę mniej pożarów.
Dane porównują różne miasta w jednym roku, a nie pokazują, co dzieje się w mieście po zwolnieniu strażaków. Skoro w dwóch miastach pożary były wcześniej niż dodatkowi strażacy, to związek między liczbą jednych i drugich może iść od pożarów do strażaków — wtedy zwolnienia niczego nie zmniejszą.

Z porównania 12 miast nie wynika, że dołożenie strażaków w jakimś mieście zwiększy tam liczbę pożarów.
Pierwsza przesłanka zestawia różne miasta w jednym roku. Nie mówi nic o tym, co dzieje się z pożarami w mieście po dołożeniu strażaków, więc nie uzasadnia przewidywania, że ich przybędzie. To zdanie odmawia tylko tego, czego dane rzeczywiście nie dają.

We wszystkich dwunastu miastach to wzrost liczby pożarów sprawił, że miasto przyjęło więcej strażaków.
Taka kolejność pasuje do dwóch miast, w których strażaków dołożono po pożarach. O pozostałych dziesięciu przesłanki nie mówią nic, więc przyjęcie, że tam było tak samo, to ten sam błąd w drugą stronę: jedna pewna przyczyna zamieniona na drugą.

Przesłanki nie przesądzają, że w co najmniej jednej szóstej miast pożary wyprzedziły dodatkowych strażaków.
Wynika: druga przesłanka mówi, że w dwóch miastach burmistrz przyjął dodatkowych strażaków dopiero po tym, jak pożarów zrobiło się dużo, a porównano 12 miast. Dwa z dwunastu to dokładnie jedna szósta, więc co najmniej jedno miasto na sześć spełnia ten warunek.

Wielkość miasta wyjaśnia całą tę zależność: duże miasta mają i więcej strażaków, i więcej pożarów.
Wielkość miasta to możliwy trzeci czynnik, ale w przesłankach nie ma ani słowa o rozmiarach miast. Zdanie przypisuje mu całą zależność, uzasadniając to tym, że duże miasta mają i więcej strażaków, i więcej pożarów — choć dane o tym milczą, a w dwóch miastach widać wprost inną kolejność zdarzeń. To dopisana historia, nie wniosek.

Uczniowie z korepetycjami mają gorsze oceny, więc pierwsza myśl brzmi: korepetycje coś psują. Druga przesłanka układa jednak zdarzenia w czasie. Dwudziestu czterech z trzydziestu to cztery piąte, a oni zapisali się dopiero po jedynce, czyli u nich słaba ocena była pierwsza, a korepetycje przyszły jako reakcja na nią. To odwrócony kierunek: to, co wyglądało na przyczynę (korepetycje), jest u większości skutkiem (słabych ocen). Grupa „uczniów z korepetycjami” zbiera się z tych, którzy już mieli kłopoty, więc jej gorsza średnia mogła powstać, nawet gdyby korepetycje pomagały. Dlatego z samej średniej nie wynika ani że korepetycje szkodzą, ani że pomagają — do tego trzeba by zobaczyć, jak zmieniają się oceny tego samego ucznia przed korepetycjami i po nich.

Cztery piąte uczniów z korepetycjami miało już jedynkę, zanim poszło na pierwszą lekcję.
Na korepetycje chodzi 30 uczniów, a dwudziestu czterech z nich zapisało się po jedynce. 24 z 30 to 4 z 5, czyli cztery piąte. U nich słaba ocena była więc pierwsza, a korepetycje przyszły po niej.

Szkoła Marty powinna odradzić wszystkim rodzicom zapisywanie dzieci na korepetycje z matematyki.
Rada „odradzajmy” zakłada, że korepetycje pogarszają oceny, bo uczniowie z korepetycjami mają gorsze oceny. Z tego jednak nie wynika, że korepetycje je pogarszają — cztery piąte z nich zapisało się dopiero po jedynce. Rada opiera się na kierunku przyczyny, którego dane nie pokazują.

Z gorszych ocen uczniów z korepetycjami nie wynika, że korepetycje obniżają oceny, bo u większości jedynka była pierwsza.
Skoro większość uczniów zapisała się dopiero po jedynce, ich słabe oceny wyprzedzały korepetycje, więc powodem zapisu mogły być oceny, a nie odwrotnie. Taka różnica średnich mogłaby się pojawić, nawet gdyby korepetycje niczego nie zmieniały, więc nie dowodzi, że obniżają oceny.

Uczniowie, którzy chodzą na korepetycje z matematyki, mają średnio lepsze oceny niż ci, którzy nie chodzą.
Pierwsza przesłanka mówi coś dokładnie przeciwnego: uczniowie z korepetycjami mają oceny gorsze. To nie jest zbyt mocny wniosek, tylko wniosek sprzeczny z danymi.

Przesłanki nie przesądzają, że wśród uczniów z korepetycjami jest sześciu takich, którzy zapisali się bez wcześniejszej jedynki.
Wynika, i to jednym odejmowaniem: na korepetycje chodzi trzydziestu uczniów, dwudziestu czterech zapisało się po jedynce, więc pozostałych sześciu zapisało się bez niej. Zdanie brzmi ostrożnie, ale odmawia liczby, którą przesłanki wyznaczają.

Uczniowie z korepetycjami mają surowszego nauczyciela matematyki i dlatego mają i gorsze oceny, i korepetycje.
Surowy nauczyciel to możliwa historia, ale przesłanki w ogóle nie mówią o nauczycielach. Zdanie podaje jeden z wielu możliwych trzecich czynników jako ustalony i pomija to, co w danych widać: większość uczniów zapisała się po jedynce.

Liczby są wyraźne: wśród biorących tabletki ból głowy ma 150 osób na 200, wśród niebiorących tylko 40 na 200. Aż się prosi o wniosek, że tabletki bolą głowę. Trzecia przesłanka pokazuje jednak drugi sposób, w jaki mogła powstać ta sama różnica: kto ma częste bóle głowy, ten częściej sięga po tabletki, więc grupa „biorących” zbiera właśnie ludzi z bólem głowy. W tym układzie ból głowy jest przyczyną, a tabletki — skutkiem, i różnica 150 do 40 powstałaby nawet wtedy, gdyby tabletki niczego nie zmieniały. Dane nie pozwalają więc stwierdzić, że tabletki ból wywołują, ani że go leczą. Żeby to rozstrzygnąć, trzeba by porównać ludzi, którym tabletki przydzielono losowo.

Osób z bólem głowy co najmniej raz w tygodniu jest wśród biorących tabletki prawie cztery razy więcej niż wśród niebiorących.
Obie grupy mają po 200 osób, więc liczby można porównywać wprost: 150 do 40 to 3,75 raza, czyli prawie cztery. Zdanie opisuje, jak wyglądają dane; nie mówi nic o tym, co czym jest spowodowane.

Osoby, które odstawią tabletki przeciwbólowe, przestaną mieć bóle głowy.
Przesłanki porównują dwie grupy ludzi, a nie pokazują, co dzieje się z kimś po odstawieniu tabletek. Zdanie zakłada, że to tabletki wywołują ból, a trzecia przesłanka podaje inne źródło różnicy: częste bóle głowy prowadzą do tabletek — wtedy odstawienie niczego nie zmieni.

Z tej różnicy nie wynika, że tabletki powodują ból głowy — częsty ból mógł sprowadzić tabletki.
Trzecia przesłanka mówi, że ludzie z częstym bólem głowy częściej sięgają po tabletki. Przy takim zachowaniu grupa biorących zbierałaby osoby z bólem głowy nawet wtedy, gdyby tabletki nic nie zmieniały. Różnica 150 do 40 nie dowodzi więc, że tabletki ból wywołują.

Brane co tydzień tabletki przeciwbólowe przestają z czasem działać i ból głowy wraca.
To mechanizm, którego nie ma w przesłankach, dopisany tylko po to, by wytłumaczyć, czemu u biorących tabletki ból się utrzymuje. Ta sama różnica pasuje do kierunku odwrotnego, który przesłanki opisują wprost.

Przesłanki nie przesądzają, że wśród dorosłych niebiorących tabletek 160 osób nie ma bólu głowy co tydzień.
Wynika, i to jednym odejmowaniem: wśród 200 dorosłych niebiorących tabletek ból głowy ma 40, więc pozostałych 160 go nie ma. Zdanie brzmi ostrożnie, ale odmawia liczby, którą druga przesłanka wyznacza.

Osoby, które mało śpią, częściej miewają ból głowy i częściej biorą tabletki — niewyspanie łączy obie rzeczy.
Niewyspanie to możliwy trzeci czynnik, ale przesłanki o śnie nie mówią nic. Zdanie podaje go jako wyjaśnienie, choć wystarcza prostsze, które przesłanki same podają: ból głowy skłania do brania tabletek.

Próg 5% znaczy: „taki wynik zdarza się przez sam przypadek raz na dwadzieścia razy". Jeśli więc zmierzę dwadzieścia wskaźników, to jeden istotny wynik jest tym, czego należy się spodziewać, **nawet gdy suplement jest zwykłą kredą**. Nie ma tu żadnego oszustwa w liczeniu: każdy test osobno jest policzony poprawnie. Oszustwo — albo zwykła nieuwaga — siedzi w tym, że o wyborze wskaźnika zdecydowano po zobaczeniu wyników. Stąd zabawne wykresy, na których liczba filmów z Nicolasem Cage'em pokrywa się z liczbą utonięć w basenach: przy dostatecznie wielu zestawianych parach idealne dopasowania pojawiają się same. Lekarstwo jest proste i nudne: zapowiedzieć wskaźnik przed badaniem, a ten jeden wynik powtórzyć osobno.

Suplement poprawia zdrowie, choć efekt jest niewielki.
Przy progu 5% jeden wynik na dwadzieścia wychodzi istotny z samego przypadku. Jeden trafiony wskaźnik z dwudziestu to dokładnie tyle, ile daje przypadek — także gdy suplement nie robi nic.

Ten jeden wskaźnik wybrano po zobaczeniu wyników, więc nie wiadomo, czy efekt jest realny.
Z dwudziestu wskaźników uwagę zwraca ten jeden, który wyszedł — a wskazanie go dopiero po zobaczeniu wyników sprawia, że przypadek wygląda jak efekt. Dlatego nie wiadomo, czy efekt jest realny, i trzeba by go powtórzyć.

Jeden istotny wynik na dwadzieścia daje sam przypadek.
Próg 5% znaczy, że taki wynik zdarza się przypadkiem raz na dwadzieścia razy.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że istotną poprawę wykazał co dwudziesty z mierzonych wskaźników.
Jest: jeden wskaźnik z dwudziestu to co dwudziesty, czyli 5%. Wystarczy podzielić — a to, że wynik jest istotny, nie znaczy jeszcze, że efekt jest prawdziwy.

Suplement poprawia ten jeden wskaźnik, choć nie wpływa na pozostałe.
Zawężenie tezy do jednego wskaźnika nie ratuje jej, bo ten wskaźnik wybrano po zobaczeniu wyników. To wciąż ten sam przypadek.

Zasada z drugiej przesłanki znaczy: jedno sprawdzenie rzeczy, która z oceną nic nie ma wspólnego, da przypadkiem „znaczący” wynik w jednej próbie na dwadzieścia. Ola sprawdziła czterdzieści rzeczy, więc nawet jeśli żadna z nich nie ma związku z oceną, należy się spodziewać około 40 razy 5 na 100, czyli dwóch znaczących wyników. Wyszły dokładnie dwa. To, że akurat plecak i godzina wstawania wyglądają jak ciekawe tropy, niczego nie zmienia: gdyby wyszły dwie inne rzeczy, opowieść byłaby inna, a rachunek taki sam. Pojedynczy znaczący wynik wybrany z czterdziestu nie jest zatem śladem związku. Wymaga potwierdzenia osobnym sprawdzeniem na nowych uczniach, w którym z góry wiadomo, o którą rzecz pytamy — i wtedy zasada 5 na 100 znów ma sens.

Gdyby żadna z 40 rzeczy nie miała związku z oceną, przypadek dałby średnio dwa znaczące wyniki — tyle, ile wyszło.
Jedno sprawdzenie daje przypadkiem „znaczący” wynik w 5 próbach na 100. Przy 40 sprawdzeniach to 40 razy 5 na 100, czyli 2. Wyszły dokładnie dwa, więc wynik zgadza się z tym, co dałby sam przypadek.

Uczeń, który zacznie wstawać przed siódmą, poprawi swoje oceny z matematyki.
Wstawanie przed siódmą to jedna z 40 sprawdzonych rzeczy, a dwa znaczące wyniki z 40 to tyle, ile dałby sam przypadek. Zdanie robi z jednego takiego wyniku twierdzenie, że zmiana nawyku poprawi oceny, którego przesłanki nie podtrzymują.

Nie wiadomo, czy niebieski plecak lub wczesne wstawanie naprawdę wiążą się z oceną, bo dwa trafy z 40 to tyle, ile da przypadek.
Dwa znaczące wyniki to tyle, ile przy 40 sprawdzeniach dałby sam przypadek. Z samych tych wyników nie da się więc odróżnić rzeczy naprawdę związanej z oceną od szczęśliwego trafu. Zdanie nie twierdzi ani, że związek jest, ani że go nie ma.

Dobre oceny z matematyki sprawiają, że uczniowie wybierają niebieskie plecaki i wstają przed siódmą.
To odwrócenie kierunku, ale nie ma czego odwracać: skoro znaczące wyniki mogą być przypadkowe, nie wiemy nawet, czy plecak i wstawanie łączą się z oceną w jakąkolwiek stronę. Zamiana przyczyny i skutku nie naprawia wniosku opartego na trafie.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że 38 z 40 sprawdzonych rzeczy nie dało znaczącego wyniku.
Wynika, i to jednym odejmowaniem: z 40 sprawdzonych rzeczy znaczący wynik dały dwie (trzecia przesłanka), więc pozostałe 38 go nie dało. Zdanie brzmi ostrożnie, ale odmawia liczby, którą przesłanki wyznaczają.

Obie rzeczy mają jedną przyczynę: uczniowie z niebieskimi plecakami to zwykle ci, którzy wcześnie wstają.
Przesłanki nie mówią, kto nosi jaki plecak ani kiedy wstaje. To wymyślone powiązanie, które ma wytłumaczyć dwa wyniki, choć dwa wyniki z 40 mogą być zwykłym przypadkiem.

Kiedy zestawia się 66 par wykresów, jedna z nich musi zgadzać się najlepiej, nawet jeśli żadne dwie dziedziny nic ze sobą nie łączy — tak samo jak wśród 66 osób rzucających monetą ktoś trafi niezwykłą serię orłów. Kuba pokazał w gazetce tylko zwycięzcę tego konkursu, więc czytelnik nie widzi sześćdziesięciu pięciu par, które zgadzały się gorzej, i nie ma jak ocenić, czy zgodność deszczu i książek o rybach jest czymś więcej niż najlepszym wynikiem w dużej loterii. Stąd bierze się cała kolekcja zabawnych wykresów, na których dwie nieprzystające do siebie rzeczy idą ręka w rękę: autorzy wybierają po fakcie najładniejszy z tysięcy. Kolejność nie ma tu nic do rzeczy, więc nie pomaga ani zamiana kierunku, ani szukanie mechanizmu — najpierw trzeba wiedzieć, ile par przejrzano.

Żadna z pozostałych 65 par nie zgadzała się lepiej niż ta, którą Kuba pokazał w gazetce.
Par było 66, a pokazana była najlepsza z nich. Zostaje 65 pozostałych, z których żadna nie zgadzała się lepiej. Czytelnik gazetki widzi więc zwycięzcę z 66, a nie jedyną sprawdzoną parę.

Deszczowe dni nie mają nic wspólnego z wypożyczaniem książek o rybach, a zgodność wykresów to zwykły przypadek.
To przeskok w drugą stronę. Wykres jest wybrany z 66 par, więc jego zgodność niczego nie dowodzi, ale też niczego nie wyklucza: przesłanki nie mówią, że związku nie ma, tylko że z tego wykresu nie można go wywnioskować. „To zwykły przypadek” jest równie nieuzasadnione jak „coś je łączy”.

Z tego jednego wykresu nie wynika, że deszcz i książki o rybach mają jakikolwiek związek.
Przy 66 parach jakaś zawsze zgadza się najlepiej, nawet gdy dane nic nie łączy. Kuba pokazał najlepszą, więc jej zgodność nie jest wiarygodnym śladem związku. Zdanie nie mówi, że związku nie ma — tylko że z tego wykresu nie wynika.

Deszcz zniechęca ludzi do wychodzenia z domu, więc w deszczowe dni częściej biorą z biblioteki książki o rybach.
To zgrabny mechanizm, którego nie ma w przesłankach. Powstał po to, żeby wyjaśnić zgodność, która mogła być zwykłym trafem wśród 66 par; wyjaśnienie wymyślone po fakcie nie jest wnioskiem z danych.

Spośród 66 par tylko para deszczu i książek o rybach pokazała jakąkolwiek zgodność wykresów.
Przesłanka mówi, że ta para zgadzała się **najlepiej** — to ranking, nie zero dla reszty. Przy 66 parach część pozostałych na pewno zgadzała się przyzwoicie, też przypadkiem. O stopniu zgodności pozostałych 65 par przesłanki nie mówią nic.

Przesłanki nie przesądzają, że Kuba wybrał ten wykres do gazetki dopiero po porównaniu wszystkich par.
Wynika. Przesłanki układają zdarzenia po kolei: najpierw Kuba zestawił wszystkie 66 par i sprawdził każdą, a dopiero potem pokazał w gazetce tę jedną. Wybór po fakcie to sedno sprawy, więc udawanie, że kolejności nie znamy, odmawia najważniejszej informacji.

Zasada z drugiej przesłanki dotyczy jednego porównania: jedna próba na dwadzieścia da „znaczący” wzrost przypadkiem. Sklep zrobił sześć porównań, więc przypadek miał sześć okazji do trafu, a szansa, że choć jedna z nich wyjdzie „znacząco” sama z siebie, jest wyraźnie większa niż 5 na 100. Gdyby sklep od początku sprawdzał tylko pomarańczowy, ten sam wynik byłby dużo mocniejszym dowodem. Teraz jest to najlepszy z sześciu losów, a blog pokazał go bez pozostałych pięciu. Wynik nie dowodzi więc, że pomarańczowy działa — ale też nie dowodzi, że kolor nie ma znaczenia, bo prawdziwy wpływ mógł tu być. Uczciwy krok to powtórzyć porównanie samego pomarańczowego z szarym na nowych klientach, z góry wiedząc, o co pytamy.

Przy wielu porównaniach naraz łatwiej trafić wynik „znaczący” z samego przypadku niż przy jednym.
Zasada mówi o jednym porównaniu: 5 na 100. Przy wielu porównaniach naraz (tu sześciu) przypadek ma tyle okazji do trafu, więc szansa, że przynajmniej jedno wyjdzie „znacząco”, jest większa niż przy jednym — czyli większa niż 5 na 100.

Każdy sklep internetowy, który zastosuje pomarańczowy przycisk „Kup”, sprzeda więcej.
Przesłanki mówią o jednym sklepie i jednym znaczącym wyniku z sześciu. To za mało, by twierdzić, że kolor zwiększa sprzedaż, a tym bardziej że zrobi to w każdym sklepie, który go zastosuje.

Z wyniku pomarańczowego przycisku nie wynika, że ten kolor naprawdę sprzedaje lepiej niż szary.
Pomarańczowy był jednym z sześciu sprawdzanych kolorów i jedynym, który wyszedł. Przy sześciu próbach taki wynik mógł pojawić się przypadkiem, więc nie ma podstaw twierdzić, że kolor działa. Zdanie nie mówi, że nie działa — tylko że to nie wynika.

Kolor przycisku w ogóle nie wpływa na sprzedaż w tym sklepie.
Wniosek opiera się na tym, że pięć z sześciu kolorów nie dało różnicy. Brak znaczącej różnicy w pięciu porównaniach nie dowodzi jednak braku wpływu, a szósty kolor dał znaczący wynik, którego przesłanki nie pozwalają ani przyjąć, ani odrzucić. To przeskok w drugą stronę.

Pomarańczowy przycisk jest bardziej widoczny na stronie, dlatego więcej klientów klika go i dokonuje zakupu.
Przesłanki nie mówią nic o widoczności przycisku ani o tym, co klienci klikają. To wyjaśnienie dopisane do wyniku, którego realność jest właśnie niepewna.

Z przesłanek nie wynika, żeby znaczący wzrost sprzedaży dał tylko jeden z sześciu sprawdzonych kolorów.
Wynika: pierwsza przesłanka mówi o sześciu kolorach, a trzecia o pięciu bez znaczącej różnicy i jednym ze znaczącym wzrostem. Znaczący wzrost dał więc dokładnie jeden z sześciu kolorów, a zdanie ostrożnie odmawia tego, co składa się z dwóch przesłanek.

Grupa kontrolna ma różnić się od badanej tylko tym jednym, co badamy. Tu różni się wszystkim: przyjęci to ci, którzy wypadli najlepiej na egzaminie i rozmowie, czyli z góry inni pod względem przygotowania, uporu i często zaplecza domowego. Porównanie mierzy więc sumę „uczelnia plus to, co było przed uczelnią", a przypisuje całość uczelni. Wyobraź sobie poprawny eksperyment: wśród kandydatów z pogranicza progu przyjęć — tych, którzy niemal się nie różnili — rozstrzyga kilka punktów, więc porównanie przyjętych i odrzuconych z tej wąskiej grupy już coś mówi. Odpowiedni dobór kontroli potrafi więc uratować pytanie, na które całe zestawienie absolwentów nie odpowiada.

Studia na tej uczelni podnoszą zarobki.
Przyjęci byli lepiej przygotowani już na wejściu, bo wybrano ich z dziesięciu kandydatów po egzaminie. Porównanie mierzy uczelnię razem z tym, co kandydaci wnieśli ze sobą.

Z tego porównania nie wynika, ile z różnicy zarobków dała uczelnia, a ile to, kogo przyjęła.
Przyjęci różnili się od odrzuconych już na wejściu, więc różnica miesza dwie rzeczy.

Przyjęci i odrzuceni różnią się nie tylko tym, że jedni studiowali na tej uczelni.
Jedni zostali przyjęci po egzaminie i rozmowie, drudzy odpadli — więc już przed studiami byli różni. Porównanie mierzy uczelnię razem z tym, kogo wybrała.

Przesłanki nie przesądzają, że dziewięciu na dziesięciu zgłaszających się na tę uczelnię nie zostaje przyjętych.
Przesądzają: skoro uczelnia przyjmuje jedną osobę na dziesięć zgłoszeń, to dziewięć na dziesięć odpada. Wystarczy odjąć — a ten odsiew jest właśnie tym, co psuje porównanie.

Warto starać się o przyjęcie na tę uczelnię, żeby więcej zarabiać.
Ta rada opiera się na tym samym nieuprawnionym kroku: że różnicę zarobków dała uczelnia, a nie to, kogo przyjęła.

Grupa kontrolna ma się różnić od badanej tylko tym jednym, co badamy. Pan Adam porównał grządkę z nawozem z grządką bez nawozu, więc na pierwszy rzut oka wszystko się zgadza: jest grupa badana i jest kontrolna. Tyle że druga grządka rośnie w innych warunkach — pod drzewem, gdzie słońce świeci około trzech godzin dziennie zamiast dziesięciu. Różnica 30 cm (80 − 50) jest więc sumą dwóch rzeczy naraz, nawozu i słońca, a z samego pomiaru nie umiemy ich rozdzielić. Możliwe, że nawóz nic nie daje i cała przewaga to zasługa słońca; możliwe też, że nawóz pomaga, a słońce tylko dokłada swoje. Poprawny eksperyment sadzi pomidory w tym samym miejscu i losuje, które dostaną nawóz — albo daje go co drugiej roślinie na tej samej grządce. Wtedy słońce, ziemia i podlewanie rozkładają się po równo, a to, co zostaje jako różnica, można przypisać nawozowi.

Pomidory przy płocie mogły urosnąć wyższe od tych pod gruszą nawet wtedy, gdyby nawóz nic nie dawał, bo mają więcej słońca.
Przy płocie jest słońca ponad trzy razy więcej niż pod gruszą (10 godzin wobec 3), a pomidory z większą ilością słońca rosną lepiej. Przewaga 30 cm mogła więc powstać nawet wtedy, gdyby nawóz w ogóle nie działał — tego przesłanki nie wykluczają.

Różnicy 30 cm nie można rozłożyć na część od nawozu i część od dodatkowego słońca przy płocie.
Obie grządki różnią się dwiema rzeczami naraz: nawozem i ilością słońca. Różnica 30 cm (80 − 50) jest efektem obu i nic w danych nie pozwala podzielić jej na część „nawozową" i „słoneczną".

Nowy nawóz dodał pomidorom przy płocie 30 cm wzrostu.
To przypisuje nawozowi całą różnicę 30 cm. Przy płocie było też o wiele więcej słońca, więc część tych centymetrów (albo wszystkie) mogła przyjść od słońca, a nie od nawozu.

To słońce, a nie nawóz, sprawiło, że pomidory przy płocie urosły wyższe od tych pod gruszą.
To ten sam błąd w drugą stronę. Słońce mogło dać część przewagi albo całą, ale nawóz też mógł coś dodać — z tych danych nie rozstrzygniemy, jak podzielić 30 cm między jedno a drugie.

Z przesłanek nie wynika, że grządka pod gruszą dostaje mniej niż połowę słońca, które dostaje grządka przy płocie.
Wynika: pod gruszą słońce świeci około 3 godzin, przy płocie około 10, a 3 to mniej niż połowa z 10 (połowa to 5). Przesłanki pokazują więc wprost, jak bardzo grządki różnią się nasłonecznieniem.

Dwie klasy uczą się z dwóch różnych podręczników, więc wygląda to jak porównanie z grupą kontrolną. Ale klasa 8b różni się od klasy 8a nie tylko podręcznikiem: ma innego nauczyciela, i to takiego, który dopiero zaczyna pracę. Różnica 9 punktów (78 − 69) może więc pochodzić z podręcznika, z nauczyciela albo z obu naraz, a sam wynik nie mówi, w jakiej proporcji. Nie twierdzimy przy tym, że nowy podręcznik jest gorszy czy bezużyteczny; twierdzimy tylko, że to porównanie nie może tego rozstrzygnąć, bo zestawia dwa komplety naraz: nowy podręcznik z jednym nauczycielem i stary podręcznik z drugim. Dobra kontrola zmieniałaby jedną rzecz: ten sam nauczyciel i losowo wybrane klasy z nowym i starym podręcznikiem albo klasy, w których nauczyciele zamienili się podręcznikami.

Przewaga klasy 8a mogła w całości pochodzić od nauczyciela, a nie od podręcznika.
Klasy różniły się nie tylko podręcznikiem, ale i nauczycielem: pan Piotr uczy od 20 lat, pani Ewa dopiero zaczyna. Nic w przesłankach nie wyklucza, że to nauczyciel dał całe 9 punktów (78 − 69), a podręcznik nie dał nic.

Przewagi klasy 8a nie można rozdzielić na część od podręcznika i część od nauczyciela z dłuższym stażem.
Przewaga 8a ma dwa możliwe źródła naraz — nowy podręcznik i doświadczonego nauczyciela — a wynik sprawdzianu pokazuje tylko ich sumę. Żeby rozdzielić te części, trzeba by zmienić jedną z tych rzeczy, zostawiając drugą.

Gdyby wszystkie ósme klasy w szkole przeszły na nowy podręcznik, ich wyniki na sprawdzianie wzrosłyby o 9 punktów.
To przypisuje podręcznikowi całą różnicę 78 − 69 = 9 punktów i obiecuje ją innym klasom. Klasy 8a i 8b miały jednak różnych nauczycieli, więc z tej różnicy nie da się wydzielić części należnej samemu podręcznikowi, a tym bardziej zapowiedzieć jej gdzie indziej.

Mapy i zdjęcia w nowym podręczniku pomogły uczniom klasy 8a lepiej zrozumieć historię.
Brzmi wiarygodnie, ale to mechanizm domyślny, a nie wniosek: przesłanki nie mówią nic o tym, co uczniowie wynieśli z map i zdjęć. Wynik 8a równie dobrze tłumaczy nauczyciel z dwudziestoletnim stażem.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że pan Piotr uczy w szkole o ponad piętnaście lat dłużej niż pani Ewa.
Wynika: pan Piotr pracuje w szkole od 20 lat, a dla pani Ewy to pierwszy rok, więc różnica stażu to około 19 lat, czyli więcej niż piętnaście. Ta różnica jest właśnie powodem, dla którego porównanie klas nie mówi czystej prawdy o podręczniku.

Dzieci z kółka szachowego i dzieci spoza niego to dwie grupy, które zebrały się nie przez losowanie, tylko przez wybór: zapisały się te, które chciały i miały na to zgodę. Takie dzieci mogą się różnić od reszty zainteresowaniem nauką, wsparciem w domu czy zwykłą ciekawością, więc grupa kontrolna nie jest tu „taka sama poza szachami". Przesłanki pokazują to wprost: zanim kółko ruszyło, przyszli szachiści mieli średnią o 0,4 punktu wyższą (4,3 − 3,9), a po roku różnica wynosi 0,7 (4,6 − 3,9). Ponad połowa tej przewagi była więc na miejscu, zanim ktokolwiek zagrał pierwszą partię. Porównanie po roku miesza dwie rzeczy: skutek szachów i to, jakie dzieci się zapisały. Nie wynika z tego, że szachy nic nie dały — wynika tylko, że ta różnica nie pozwala tego sprawdzić.

Po roku przewaga dzieci z kółka wynosi 0,7 punktu, ale już przed kółkiem miały one 0,4 punktu więcej niż pozostałe.
Przed otwarciem kółka przyszli szachiści mieli średnią 4,3, a pozostali 3,9 — czyli o 0,4 więcej. Po roku przewaga wynosi 0,7 (4,6 − 3,9), więc 0,4 z niej istniało, zanim ktokolwiek zagrał partię.

Różnica ocen po roku nie dowodzi, że to właśnie szachy podniosły oceny z matematyki u dzieci z kółka.
Porównanie zestawia dzieci, które wybrały kółko, z tymi, które go nie wybrały, a te grupy różniły się już na starcie. Różnica po roku może więc w całości lub w części pochodzić z tego, kto się zapisał, a nie z samych szachów.

Gdyby wszystkie dzieci w szkole zaczęły grać w szachy, ich oceny z matematyki wzrosłyby o 0,7 punktu.
To przypisuje szachom całą różnicę 4,6 − 3,9 = 0,7 i obiecuje ją wszystkim dzieciom. Tymczasem 0,4 z niej istniało przed kółkiem, bo grupy różniły się już na starcie, więc nie wszystko mogło przyjść od szachów.

Dzieci z kółka mają lepsze oceny z matematyki niż pozostałe, bo szachy uczą logicznego myślenia.
To mechanizm, który brzmi dobrze, ale przesłanki go nie potwierdzają. Wiemy tylko, że dzieci z kółka miały wyższą średnią i że miały ją już przed kółkiem; nic nie wskazuje, że przyczyną były szachy, a nie to, kto się zapisał.

Przesłanki nie przesądzają, czy średnia ocen dzieci spoza kółka zmieniła się w ciągu roku.
Wynika: dzieci spoza kółka miały średnią 3,9 przed otwarciem kółka i 3,9 po roku, więc u nich nic się nie zmieniło. Cała zmiana różnicy między grupami to wzrost u dzieci z kółka — a to jeszcze nie dowód, że sprawiły to szachy.

Nawet ogromne badanie obserwacyjne nie wyklucza zmiennej zakłócającej, a liczebność niczego tu nie ratuje: sto tysięcy osób dobranych tak samo krzywo daje ten sam krzywy wynik, tylko z ciaśniejszym przedziałem ufności. W tej historii zakłócenie jest w przesłankach wprost — hormony brały pielęgniarki zamożniejsze i częściej badane, a zamożność i opieka medyczna same obniżają ryzyko zawału. Gdy sprawę rozstrzygnięto wreszcie badaniem z losowaniem, efekt ochronny zniknął, a dla części kobiet ryzyko okazało się wyższe. Rozdział podaje obok kontrprzykład, który warto trzymać w pamięci: przy paleniu i raku płuc wniosek z kohorty **był** uprawniony, bo efekt był wielokrotny, utrzymał się po uwzględnieniu wieku i zawodu, miał znany mechanizm biologiczny i powtórzył się w wielu krajach. Badanie obserwacyjne nie jest więc bezwartościowe — jest warunkowe.

Hormony po menopauzie chronią serce.
Hormony brały pielęgniarki zamożniejsze i częściej chodzące do lekarza, a jedno i drugie samo obniża ryzyko zawału. Bez losowania nie da się oddzielić hormonów od tego, kto je brał.

Przyjmowanie hormonów zależało od pielęgniarek i ich lekarzy, więc grupy nie powstały losowo.
Skoro to pielęgniarki i lekarze decydowali, kto bierze hormony, nikt nie losował — a bez losowania grupy mogą różnić się czymś więcej niż hormonami.

Grupy różniły się nie tylko tym, czy przyjmowały hormony.
Trzecia przesłanka podaje czynnik, który sam obniża ryzyko zawału.

Hormony po menopauzie zwiększają ryzyko zawału.
Tak wyszło później w badaniu z losowaniem, ale z tych przesłanek wynika coś wprost przeciwnego. Trafna teza wsparta złym argumentem to wciąż zły argument.

Z badań obserwacyjnych nie da się wyciągać wniosków o przyczynach.
To za mocno. Przy paleniu i raku płuc wniosek z kohorty był uprawniony — efekt był wielokrotny, miał mechanizm i powtórzył się w wielu krajach. Takie badania są warunkowe, nie bezużyteczne.

Badanie kohortowe obserwuje ludzi, ale niczego im nie przydziela: rodziny same wybierają, czy mieć psa, więc dzieci z psem i bez psa różnią się nie tylko psem. Tu różnica jest widoczna w przesłankach: psy miały głównie dzieci ze wsi, a dzieci ze wsi rzadziej mają alergię na pyłki, nawet bez psa. Wieś jest więc czynnikiem zakłócającym — wiąże się i z posiadaniem psa, i z alergią — i miesza się z działaniem psa w tej samej liczbie, 13% wobec 17%. Nie znaczy to, że pies nie chroni: może chronić, nawet gdyby wieś też chroniła. Znaczy tylko, że z tego porównania nie da się odczytać, ile z czterech punktów procentowych różnicy to zasługa psa. Liczebność niczego tu nie naprawia: dziesięć tysięcy dzieci dobranych krzywo daje krzywy wynik tylko dokładniej. Dopiero porównanie dzieci ze wsi z psem i bez psa oraz osobno dzieci z miast z psem i bez psa zbliżyłoby nas do odpowiedzi.

Część różnicy w alergiach mogła wziąć się stąd, że dzieci z psem częściej mieszkały na wsi.
Z psem mieszkało 7 dzieci na 10 ze wsi, a bez psa tylko 3 na 10, a dzieci ze wsi rzadziej mają alergię w obu grupach. Grupa „z psem" miała więc więcej dzieci o mniejszym ryzyku już z powodu wsi i to mogło obniżyć jej wynik.

Z przesłanek nie wynika, że to pies sprawił, iż dzieci z psem rzadziej miały alergię na pyłki.
Dzieci z psem i bez psa różniły się jeszcze czymś ważnym — miejscem życia — które samo wiąże się z alergią. Dlatego wynik 13% wobec 17% jest zgodny i z tym, że pies pomaga, i z tym, że nie pomaga wcale.

Gdyby wszystkie dzieci zamieszkały z psem, odsetek alergii na pyłki spadłby u nich o 4 punkty procentowe.
17% − 13% = 4 punkty to różnica między grupami, a nie skutek psa, więc nie można jej obiecywać każdemu dziecku. Część tych czterech punktów mogła pochodzić z tego, że psy mieli głównie mieszkańcy wsi.

Dzieci z psem rzadziej mają alergię na pyłki, bo kontakt z psem uczy ich organizm nie reagować na pyłki.
To tłumaczenie brzmi sensownie, ale jest domysłem: przesłanki nie mówią nic o tym, jak organizm dziecka reaguje na psa. Samą różnicę 13% i 17% da się też wyjaśnić tym, że więcej dzieci z psem mieszkało na wsi.

Z przesłanek nie wynika, żeby bez alergii na pyłki zostało ponad 85% dzieci, które od urodzenia mieszkały z psem.
Wynika: alergię dostało 13% dzieci mieszkających z psem, więc bez niej zostało 100% − 13% = 87%, a to więcej niż 85%. To zwykłe dopełnienie liczby z pierwszej przesłanki; pytanie, czy zrobił to pies, to osobna sprawa.

To badanie obserwacyjne, więc ludzie sami wybrali, ile kawy piją. Pijący dużo kawy są inną grupą niż pijący mało: trzy razy częściej palą papierosy (6 na 10 wobec 2 na 10), a palenie jest bardzo silnym czynnikiem ryzyka raka płuc. Palenie jest tu czynnikiem zakłócającym: wiąże się z kawą i z rakiem płuc jednocześnie, więc może stworzyć związek między kawą a rakiem tam, gdzie żadnego nie ma. To szczególnie pouczający przypadek, bo czynnik zakłócający nie ukrywa efektu, tylko go wymyśla: wynik 4% wobec 2% wygląda groźnie dla kawy, a mógł się wziąć z papierosów. Nie znaczy to, że kawa jest niewinna — z tych danych po prostu nie wynika ani jedno, ani drugie. Badacze rozstrzygają takie sprawy, porównując osobno palaczy i osobno niepalących: jeśli wśród samych niepalących różnica znika, winne były papierosy.

Wyższy odsetek raka płuc u osób pijących dużo kawy mógł wynikać z tego, że więcej z nich paliło papierosy.
Wśród pijących dużo kawy paliło 6 na 10 osób, wśród pijących mało 2 na 10, a palacze chorują na raka płuc wielokrotnie częściej. Przewaga 4% nad 2% mogła więc pochodzić z papierosów, nie z kawy — tego przesłanki nie wykluczają.

Z tych danych nie wynika, że kawa sama zwiększa ryzyko raka płuc, bo pijący jej dużo częściej palą papierosy.
Grupy pijące dużo i mało kawy różnią się papierosami, a te same w sobie bardzo mocno wiążą się z rakiem płuc. Dlatego różnica 4% wobec 2% nie pozwala przypisać niczego samej kawie.

Picie czterech lub więcej kaw dziennie podwaja ryzyko zachorowania na raka płuc u dorosłych.
Liczby się zgadzają — 4 na 100 to dwa razy więcej niż 2 na 100 — ale „podwaja" mówi o skutku kawy, a to jest tylko różnica między grupami. Palaczy było wśród pijących dużo kawy trzy razy więcej, więc podwojenie mogło przyjść od nich.

Osoby pijące dużo kawy częściej dostają raka płuc, bo kawa uszkadza płuca.
To mechanizm wymyślony do wyniku. Przesłanki nie mówią nic o tym, co kawa robi z płucami, a samą różnicę w zachorowaniach dobrze tłumaczą papierosy.

To rak płuc zwiększał picie kawy: osoby, u których się rozwijał, zaczynały pić jej więcej.
Przesłanki nie mówią, że picie kawy zmieniało się z czasem pod wpływem choroby, więc ten kierunek nie ma w nich oparcia. Kłopot jest gdzie indziej: pijący dużo kawy częściej palili, a papierosy tłumaczą wysoki odsetek zachorowań.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że wśród pijących dużo kawy niepalący stanowili mniej niż połowę.
Wynika: wśród pijących dużo kawy paliło 6 osób na 10, więc niepalących było 10 − 6 = 4 na 10, czyli mniej niż połowa. To dopełnienie liczby z trzeciej przesłanki. Dopiero ta różnica w paleniu między pijącymi dużo i mało kawy jest tym, co psuje porównanie.

Badacze nikomu nie przydzielali spacerów — ludzie sami wybierali, ile chodzą, a wybór zależał od tego, jak się czuli. Ci, którzy mieli kłopoty z równowagą, spacerowali rzadziej (ostatnia przesłanka: 6 na 10 wobec 1 na 10), a te same kłopoty oczywiście zwiększają ryzyko upadku. Zdrowie na starcie jest więc czynnikiem zakłócającym: stoi i za spacerami, i za upadkami. Różnica 35% − 15% = 20 punktów procentowych miesza w sobie wpływ spacerów i wpływ tego, kto spacerował. Być może spacery naprawdę pomagają — mięśnie nóg i ćwiczenie równowagi to rozsądne mechanizmy — ale to przypuszczenie, które trzeba sprawdzić badaniem, w którym spacery przydzielono by losowo. Duża liczba badanych nie zastępuje losowania.

Wyższy odsetek upadków wśród osób spacerujących rzadziej mógł wynikać z kłopotów z równowagą, które miały od początku.
Wśród rzadziej spacerujących kłopoty z równowagą miało na starcie 6 osób na 10, a wśród spacerujących codziennie 1 na 10, a takie kłopoty same zwiększają ryzyko upadku. Różnica 35% wobec 15% mogła więc istnieć, zanim ktokolwiek wyszedł na spacer.

To badanie nie dowodzi, że codzienne spacery zmniejszyły u starszych osób ryzyko upadku.
Osoby spacerujące codziennie były na starcie zdrowsze, a zdrowie samo chroni przed upadkiem. Wynik 15% wobec 35% jest zgodny z tym, że spacery pomagają, i z tym, że nie pomagają wcale.

Gdyby wszystkie starsze osoby zaczęły spacerować codziennie, odsetek upadków spadłby o 20 punktów procentowych.
35% − 15% = 20 punktów to różnica między dwiema grupami ludzi, a nie skutek spacerów, więc nie można jej zapowiadać wszystkim starszym osobom. Grupy różniły się zdrowiem już na początku, więc nie wiadomo, jaką część tych 20 punktów dały spacery.

Osoby spacerujące codziennie upadały rzadziej głównie z tego powodu, że były młodsze od pozostałych.
W przesłankach nie ma nic o wieku obu grup — wszyscy mieli po siedemdziesiątce. Ten wniosek wymyśla inny czynnik zakłócający zamiast wskazać ten, który jest podany: kłopoty z równowagą na początku badania.

Z przesłanek nie wynika, żeby wśród osób spacerujących rzadziej upadła w ciągu tych sześciu lat co najmniej jedna na trzy.
Wynika: jedna trzecia to około 33,3%, a upadło 35% osób spacerujących rzadziej, czyli trochę więcej niż jedna na trzy. To zwykły rachunek na liczbach z przesłanek.

Dane są prawdziwe, a zdanie zbudowane na nich mocniejsze, niż pozwalają — i to w dwóch wymiarach naraz. Pierwszy to siła efektu: kilkanaście godzin z tygodnia to różnica na granicy odczuwalności, a „pomaga przy przeziębieniu" brzmi jak coś, co się zauważa. Drugi to podmiana wniosku: badania mówiły o **czasie trwania**, zdanie „zapobiega przeziębieniom" mówi o **zachorowaniu**, co ten sam przegląd wprost wyklucza. Tak samo dzieje się ze słynnym eksperymentem ze stoiskiem dżemów: jeden wynik o mniejszym wyborze zamienia się w prawo „większy wybór obniża sprzedaż". Lekarstwem jest wypowiadanie wniosku razem z wielkością efektu i z tym, czego dotyczył.

Witamina C zapobiega przeziębieniom.
Badania mówią o skróceniu choroby, a to zdanie o niezachorowaniu — czego ten sam przegląd wprost nie wykazał. Zmieniono przedmiot wniosku, nie tylko jego siłę.

Przegląd daje podstawę, by liczyć na krótsze przeziębienie, ale nie na rzadsze zachorowania.
Przegląd mówi o dwóch rzeczach osobno: choroba jest średnio krótsza o kilkanaście godzin, więc jest podstawa, by tego oczekiwać; mniejszej szansy zachorowania nie wykazał. Zdanie rozdziela te dwa wyniki zamiast je mieszać.

Witamina C wyraźnie pomaga, gdy się przeziębisz.
Kilkanaście godzin z tygodnia choroby to różnica na granicy odczuwalności. Słowo „wyraźnie" dokłada siłę, której w danych nie ma.

Przesłanki nie przesądzają, że przeziębienie skraca się średnio o mniej niż dobę.
Przesądzają: kilkanaście godzin to mniej niż doba. Wystarczy porównać — przegląd zmierzył skrócenie choroby i jest ono niewielkie.

Warto brać witaminę C codziennie, żeby nie chorować.
Ta rada opiera się właśnie na tym, czego przegląd nie wykazał: na zapobieganiu zachorowaniu.

Przewaga grupy z aplikacją jest prawdziwa i da się ją policzyć: 2 punkty na 40 możliwych, czyli 5% maksymalnego wyniku. Słowo „znacznie" mówi jednak o czymś innym niż samo „więcej": opisuje wielkość różnicy. W każdej grupie najlepszego i najsłabszego ucznia dzieliło 30 punktów, a grupy różniły się o 2 — mniej niż jedna dziesiąta tego rozrzutu. Zdanie „uczy znacznie lepiej" dopisuje więc siłę, której w liczbach nie ma. Nie znaczy to, że aplikacja nie działa: grupy wylosowano, więc niewielka przewaga może być prawdziwa. Uczciwe streszczenie brzmi „nieznacznie lepiej na tym teście". Mała różnica to wciąż różnica, a nie zero, i właśnie dlatego trzeba ją nazwać dokładnie: ani wyolbrzymić, ani zamienić na „nic".

Aplikacja uczy angielskich słówek znacznie lepiej niż nauka z zeszytu.
Przewaga to 2 punkty na 40, czyli 5% możliwego wyniku, przy rozrzucie wyników uczniów rzędu 30 punktów w każdej grupie. Takiej liczbie odpowiada „nieznacznie lepiej", a nie „znacznie lepiej" — słowo „znacznie" dodaje siłę, której w danych nie ma.

Różnica między grupami jest mniejsza niż jedna dziesiąta różnicy między najlepszym a najsłabszym wynikiem w grupie.
Rozpiętość wyników w każdej grupie to 38 − 8 = 30 punktów, a grupy różniły się o 2. Dwa podzielone przez trzydzieści to około 7%, czyli mniej niż dziesiąta część — dlatego przewagę trzeba nazwać niewielką, a nie dużą.

Przewaga aplikacji wyniosła 5% wszystkich punktów możliwych do zdobycia na tym teście, więc jest niewielka w skali całego testu.
Dwa punkty na czterdzieści możliwych to 2 : 40 = 5%. Wniosek opisuje wielkość przewagi liczbą, którą da się wyliczyć z przesłanek, i niczego do niej nie dodaje. Pięć procent skali to niewielka część całego testu.

Przesłanki nie przesądzają, że razem uczniowie z aplikacją zdobyli o 60 punktów więcej niż uczniowie z zeszytem.
Obie grupy liczyły po 30 uczniów, a średnia różnica wyniosła 2 punkty, więc razem uczniowie z aplikacją zdobyli o 30 × 2 = 60 punktów więcej. Da się to policzyć wprost z przesłanek, więc twierdzenie, że to nie wynika, jest fałszywą skromnością.

Uczniowie sami wybrali, czy chcą uczyć się słówek z aplikacji, czy z zeszytu.
Pierwsza przesłanka mówi, że dwie grupy wylosowano, więc zdanie, że uczniowie wybierali sami, zaprzecza przesłance. To nie jest wniosek zbyt mocny, tylko fałszywy.

Aplikacja zadziałała, bo uczniowie chętniej uczą się z telefonu i spędzili nad słówkami więcej czasu.
Przesłanki nie mówią nic o tym, czy uczniowie lubią uczyć się z telefonu, ani ile czasu spędzili nad słówkami. To dopowiedziany mechanizm. Może być prawdziwy, ale nie wynika z danych, a gra pyta o to, co wynika.

Badanie dało liczbę — 3 minuty — ale autorzy sami dołożyli do niej zakres: prawdziwa różnica mieści się między 0 a 6 minutami. Zdanie „drzemka przyspiesza o 3 minuty" wyrzuca zakres i zostawia sam środek, jakby wynik był ostry jak linijka. W rzeczywistości zmierzona wartość to najlepsze oszacowanie, a prawda może leżeć po obu jego stronach: przy dolnym końcu zakresu drzemka prawie nic nie daje, przy górnym oszczędza dwa razy więcej niż zmierzono. Błąd da się popełnić także w przeciwną stronę: skoro zero mieści się w zakresie, kuszące jest powiedzieć „drzemka nic nie daje". To też za dużo, bo w tym samym zakresie mieści się 6 minut. Uczciwe zdanie podaje liczbę razem z zakresem: „około 3 minut, a według obliczeń autorów od 0 do 6".

Drzemka przyspiesza rozwiązywanie zadań o dokładnie 3 minuty.
Zmierzone 3 minuty to najlepsze oszacowanie z tego badania, a nie ustalona siła drzemki: autorzy sami podają, że prawdziwa różnica mieści się gdzieś między 0 a 6 minutami. Zdanie bez tego zakresu brzmi pewniej, niż pozwalają dane.

Według obliczeń autorów drzemka może oszczędzać nawet dwa razy więcej czasu, niż zmierzone 3 minuty.
Zakres autorów sięga 6 minut, a 6 to dwukrotność 3. Wniosek mówi więc tylko, jak daleko od zmierzonej wartości może leżeć prawda — i mieści się w przesłankach.

Według obliczeń autorów drzemka nie wydłuża rozwiązywania zadań, ale oszczędzany czas może być bliski zera.
Cały zakres, od 0 do 6, leży po stronie „drzemka oszczędza czas", więc wydłużenia w nim nie ma. Zero też do niego należy, więc oszczędność może być znikoma. Wniosek nie twierdzi ani „na pewno pomaga", ani „na pewno nie pomaga".

Przesłanki nie przesądzają, że zmierzone 3 minuty leżą dokładnie w połowie zakresu, który podali autorzy.
Połowa zakresu od 0 do 6 to (0 + 6) : 2 = 3, czyli właśnie zmierzona wartość. Da się to policzyć z przesłanek, więc twierdzenie, że nie wynika, jest fałszywą skromnością.

Badanie wykazało, że drzemka nic nie daje przy rozwiązywaniu zadań.
To ten sam błąd w drugą stronę. Zakres obejmuje zero, ale obejmuje też 6 minut, czyli efekt dwa razy większy niż zmierzony. „Nie wykluczono braku efektu" nie znaczy „wykazano brak efektu" — wynik pasuje do obu.

Drzemka przyspiesza pracę, bo po odpoczynku mózg lepiej porządkuje wiedzę i szybciej liczy.
Przesłanki nic nie mówią o tym, co dzieje się w mózgu po odpoczynku. To dopowiedziany mechanizm, a gra pyta o to, co wynika z liczb.

W tym badaniu zmierzono jedną rzecz: wagę. Zdanie „chodzenie poprawia zdrowie serca" mówi o czymś innym — o sercu — i dotyka rzeczy, której dane w ogóle nie sięgają. Drugi błąd to pominięcie grupy porównawczej: grupa B, która żyła jak dotąd, też schudła o 2 kg, więc z 3,5 kg grupy A na konto chodzenia idzie różnica, czyli 1,5 kg, a nie całość. Oba zdania brzmią jak lekko skrócone streszczenie badania, a naprawdę mówią więcej, niż dane pozwalają: jedno rozciąga wynik na zdrowie, drugie przypisuje kroków cały spadek wagi. Uczciwe streszczenie brzmi: „osoby chodzące schudły średnio o 1,5 kg więcej niż niechodzące; o niczym innym badanie nie mówi". To nie znaczy, że kroki nie służą sercu. Znaczy tylko, że tej tezy trzeba by szukać w innym badaniu, które by serce mierzyło.

Codzienne chodzenie po 10 000 kroków poprawia zdrowie serca.
Badanie mierzyło tylko wagę. O sercu nie ma w przesłankach ani słowa, więc zdanie o zdrowiu serca zmienia przedmiot wniosku: z „schudli" robi „mają zdrowsze serce".

Gdyby inni dorośli zaczęli chodzić codziennie tyle co grupa A, schudliby w tym samym czasie średnio tyle samo co grupa A.
Grupa A schudła o 3,5 kg, ale grupa B, która nie chodziła, schudła o 2 kg. Zdanie obiecuje innym całe 3,5 kg, choć chodzeniu można przypisać tylko różnicę między grupami, czyli 1,5 kg. Zdanie pomija grupę porównawczą.

Z tego, ile schudła grupa A, nie wynika, że cały spadek to zasługa chodzenia, bo grupa B, która nie chodziła, też schudła.
Grupa A schudła o 3,5 kg, ale obie grupy wylosowano, więc to, co schudła grupa B bez chodzenia (2 kg), mogło dotyczyć także grupy A. Dlatego cały spadek 3,5 kg nie może iść na konto chodzenia — to wniosek z dwóch liczb razem.

Grupa A schudła średnio o 1,5 kg więcej niż grupa B, a o niczym poza wagą to badanie nic nie mówi.
3,5 − 2 = 1,5 kg. Druga część zdania wynika z tego, że mierzono tylko wagę. Wniosek nie przypisuje chodzeniu niczego, czego dane nie pokazują.

Nie da się wykazać na podstawie przesłanek, że średnia utrata wagi wszystkich stu uczestników wyniosła 2,75 kg.
Obie grupy liczyły po 50 osób, więc średnia ze wszystkich stu to (3,5 + 2) : 2 = 2,75 kg. Da się to policzyć z przesłanek, więc zdanie, że to nie wynika, jest fałszywą skromnością.

Osoby z grupy A schudły, bo chodząc dużo, odruchowo jadły mniej.
Przesłanki nic nie mówią o tym, co badani jedli. To dopowiedziany mechanizm. Może być prawdziwy, ale nie wynika z danych — a dane nie rozstrzygają, dlaczego grupa A schudła.

Jedno badanie to jedna próbka, i to pobrana w świecie, w którym publikuje się chętniej wyniki ciekawe niż nudne. Czterdzieści dwie osoby wystarczą, by przez sam przypadek wyjść na efekt, którego nie ma, zwłaszcza gdy mierzonych rzeczy jest kilka. Dlatego pojedynczy wynik jest zaproszeniem do powtórzenia, nie rozstrzygnięciem — a tu powtórzenia już są i mówią coś innego. Rozdział podaje dla kontrastu efekt testowania: wykazano go w wielu niezależnych badaniach, w różnych grupach, a metaanalizy go potwierdzają. Różnica między tymi dwoma przypadkami nie polega na tym, że jeden jest o hormonach, a drugi o pamięci. Polega na tym, ile razy niezależnie wyszło to samo.

Dwie minuty w tej postawie podnoszą poziom hormonów.
Jedno badanie na 42 osobach nie rozstrzyga, a późniejsze próby powtórzenia wyniku go nie potwierdziły. Druga przesłanka mówi to wprost.

Większe próby powtórzenia ważą tu więcej niż jedno badanie na 42 osobach.
To wniosek dopasowany do stanu dowodów: jeden wynik przeciw wielu nieudanym próbom.

Dowody na ten efekt wskazują w przeciwne strony.
Jeden wynik przeciw nieudanym powtórzeniom nie rozstrzyga sprawy w żadną stronę.

Postawa ciała nie wpływa na nic w organizmie.
Nieudane powtórzenia jednego efektu nie dowodzą, że postawa nie wpływa na nic. To ten sam przeskok, tylko w drugą stronę.

Badania na kilkudziesięciu osobach są bezużyteczne.
Za mocno. Przy dostatecznie silnym efekcie kilkadziesiąt osób wystarcza — tak wykazano efekt testowania. Liczebność trzeba czytać razem z wielkością efektu.

Jedno badanie to jedna próbka świata: 48 dzieci, jedna szkoła, jeden miesiąc, jedni badacze. Różnica 6 słów na minutę mogła wyjść dlatego, że czytanie psu naprawdę pomaga, ale mogła też wynikać z tego, że akurat te dzieci, ta biblioteka albo ten pies okazały się nietypowe — a wyniki jednej szkoły nie pokazują, które z tych wyjaśnień jest prawdziwe. Dopiero gdy ktoś niezależnie powtórzy badanie w innych szkołach i dostanie podobny wynik, zaufanie rośnie. Jeśli nie dostanie, wynik z pierwszej szkoły traci na wadze. Trzeba też uważać, by nie przechylić się w drugą stronę: brak powtórzeń to nie dowód, że efektu nie ma, tylko znak, że sprawa nie jest jeszcze rozstrzygnięta. Warto o tym pamiętać, gdy ktoś mówi „badania wykazały", a ma na myśli jedno badanie.

Sprawa jest już rozstrzygnięta: czytanie głośno psu przyspiesza czytanie u dzieci.
To jedno badanie, 48 dzieci, jedna szkoła i nikt go nie powtórzył. To za mało, żeby sprawę uznać za rozstrzygniętą — pojedyncze badanie jest zaproszeniem do powtórzenia, nie rozstrzygnięciem.

Dopóki nikt nie powtórzy badania w innej szkole, wynik może być cechą tej jednej szkoły, a nie czytania psu.
Wszystkie dane pochodzą z jednej szkoły. Dopóki inne zespoły w innych szkołach nie dostaną podobnego wyniku, nie da się odróżnić „czytanie psu pomaga" od „tak wyszło w tej szkole". Wniosek mówi tylko to, na co pozwalają dane.

Z jednego badania na 48 dzieciach z jednej szkoły nie wynika jeszcze, że dzieci uczą się czytać szybciej, gdy czytają psu.
Dwie grupy po 24 dzieci to 48 dzieci w jednej szkole, bez żadnego powtórzenia. Takie dane pozwalają zauważyć coś ciekawego, ale nie uznać tego za ustalone.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że dzieci czytające psu czytały szybciej o co najmniej 5 słów na minutę.
Wynika: dzieci czytające psu czytały średnio o 6 słów na minutę szybciej, a 6 to więcej niż 5. To jedno porównanie liczb z drugiej przesłanki, więc zdanie, że to nie wynika, jest fałszywą skromnością. Wątpliwość dotyczy tego, co z tej różnicy wolno wyciągnąć, a nie tego, że ona jest.

Czytanie psu nie pomaga dzieciom czytać szybciej.
To błąd w drugą stronę: brak powtórzeń to nie dowód, że efektu nie ma. Jedno badanie nie rozstrzyga ani za, ani przeciw — tu pokazało przewagę czytających psu i nikt tego nie obalił.

Dzieci czytały psu szybciej, bo pies nie ocenia i nie śmieje się z błędów.
Przesłanki nie mówią nic o stresie dzieci ani o tym, jak zachowuje się pies. To dopowiedziany mechanizm. Może być trafny, ale nie wynika z danych.

Wcześniejsze badania mówią jednym głosem: dziesięć razy, w różnych krajach i na łącznie 2000 osób, ciśnienie po kawie rosło. Nowe badanie na 30 osobach tego nie zobaczyło. Można z tego zbudować dwa błędne zdania. Pierwsze: „skoro nowe badanie nie znalazło wzrostu, to wzrostu nie ma, a dawne badania się myliły" — jedno badanie obala wtedy dziesięć. Drugie: „to tylko 30 osób, więc nic nie znaczy" — i wtedy ignoruje się wynik, który też jest informacją. Trzydzieści osób to mniej niż 2% wszystkich zbadanych, więc ten wynik ma niewielką wagę, ale jej nie traci. Poza tym badanie, które czegoś nie wykryło, mogło mieć po prostu zbyt mało osób, by to wykryć; „nie wykazano" to nie to samo, co „wykazano brak". Uczciwie: nowy wynik jest sygnałem, któremu warto się przyjrzeć, ale sam nie unieważnia obrazu, który dały dziesięć badań.

Kawa nie podnosi ciśnienia krwi, a wcześniejsze badania się myliły — dowiodło tego najnowsze badanie.
Jedno badanie na 30 osobach przeciw dziesięciu na łącznie 2000 nie obala ich. Do tego badanie, które czegoś nie wykryło, nie dowodzi, że tego nie ma: mogło mieć za mało osób. Zdanie „dowiodło" jest za mocne.

Z tego, że nowe badanie na 30 osobach nie wykazało wzrostu ciśnienia, nie wynika, że wzrostu nie ma.
„Nie wykazało" mówi o tym, co zobaczono w tym badaniu, a „wykazało, że nie ma" — o tym, jak jest naprawdę. Pierwsze zdanie wynika z przesłanek, drugie wymagałoby dowodu, którego nie ma.

Przeciw dziesięciu wcześniejszym badaniom stoi jedno, które objęło mniej niż 2% wszystkich zbadanych osób.
30 : (2000 + 30) to około 1,5%, czyli mniej niż 2%. Przeciw dziesięciu badaniom stoi więc jedno, oparte na niewielkiej części wszystkich zbadanych osób. Wniosek nie twierdzi, że nowy wynik nic nie znaczy, tylko że sam nie przeważa.

Z przesłanek nie wynika, żeby w jednym wcześniejszym badaniu brało udział średnio 200 osób.
Wynika: dziesięć badań objęło łącznie 2000 osób, więc średnio 2000 : 10 = 200 osób na badanie. To jedno dzielenie liczb z pierwszej przesłanki, więc zdanie, że to nie wynika, jest fałszywą skromnością.

Co najmniej jedno z dziesięciu wcześniejszych badań również nie wykazało wzrostu ciśnienia po kawie.
Przesłanka mówi, że wszystkie dziesięć wcześniejszych badań wykazało wzrost. Zdanie, że któreś go nie wykazało, jej przeczy.

Wynik na 30 osobach nic nie znaczy, a kawa podnosi ciśnienie każdemu, kto ją wypije.
To błąd w drugą stronę. Nowy wynik ma małą wagę, ale ją ma: jest informacją, nie zerem. A „każdemu, kto ją wypije" to teza absolutna, której nie uzasadnia żadne z badań, ani stare, ani nowe.

Pierwsze badanie miało 60 uczniów, a wynik 8 punktów był dużą liczbą. Gdy trzy późniejsze zespoły, każdy na ponad 300 uczniach, sprawdziły to samo, dostały efekty w tym samym kierunku, ale wyraźnie mniejsze: 1, 2 i 3 punkty. Zdarza się to często: pierwszy, mały wynik bywa zawyżony, bo w małych grupach łatwiej o przypadkowo duże odchylenie, a w dodatku najchętniej publikuje się wyniki najbardziej widowiskowe. Dlatego jedno badanie nie ustala ani istnienia efektu, ani jego wielkości. Tu powtórzenia wskazują, że jakiś efekt może być, ale znacznie mniejszy niż 8 punktów. Równie błędne byłoby zdanie, że pierwsze badanie się pomyliło, a ćwiczenia nie mają znaczenia: trzy późniejsze wyniki są dodatnie. Zdanie poprawne uwzględnia obie rzeczy naraz — kierunek, który się powtórzył, i wielkość, która nie.

Ćwiczenia przed lekcją podnoszą wynik sprawdzianu dokładnie o tyle, ile pokazało pierwsze badanie na ten temat.
To jedno badanie na 60 uczniach, a późniejsze trzy, ponad pięć razy większe, dały efekty 1, 2 i 3 punkty zamiast 8. Liczba 8 jest więc wynikiem pierwszego badania, a nie ustaloną siłą ćwiczeń.

Każdy z późniejszych wyników, uzyskanych na większych grupach, jest mniejszy niż połowa tego, który podało pierwsze badanie.
Połowa z 8 to 4, a największy późniejszy wynik to 3. Wszystkie trzy późniejsze efekty są więc mniejsze niż połowa pierwszego. Wniosek wymaga porównania trzech liczb z jedną i tylko tyle mówi.

We wszystkich czterech badaniach grupa ćwicząca wypadła lepiej, ale rozmiar przewagi z 2005 roku się nie powtórzył.
Pierwsze badanie dało 8 punktów, późniejsze 1, 2 i 3 — wszystkie na plus. Kierunek się powtórzył, wielkość nie. Wniosek zachowuje obie rzeczy naraz.

Nie da się z przesłanek wywnioskować, że trzy późniejsze badania razem objęły więcej uczniów niż to z 2005 roku.
Każde z trzech późniejszych badań miało ponad 300 uczniów, razem ponad 900, czyli ponad 15 razy więcej niż 60. To wynika z przesłanek, więc zdanie o niemożności jest fałszywą skromnością.

Pierwsze badanie objęło więcej uczniów niż którekolwiek z trzech późniejszych.
Przesłanki mówią, że pierwsze badanie miało 60 uczniów, a każde z trzech późniejszych ponad 300. Zdanie, że pierwsze było największe, im przeczy.

Pierwsze badanie się pomyliło, a ćwiczenia nie mają wpływu na wyniki sprawdzianów.
To błąd w drugą stronę. Późniejsze wyniki są mniejsze, ale dodatnie, we wszystkich trzech badaniach. To nie jest dowód braku wpływu, tylko wskazówka, że efekt jest mniejszy niż w pierwszym badaniu.

Teza o wszystkich przypadkach wymaga sprawdzenia wszystkich przypadków, a przy oprogramowaniu jest ich nieskończenie wiele — każda kombinacja danych, kolejności kliknięć i stanu systemu to osobny przypadek. Testy mogą więc pokazać obecność błędów, nigdy ich brak. Asymetria jest tu całkowita: jeden znaleziony błąd rozstrzyga sprawę na zawsze, a cztery tysiące przejść nie rozstrzyga jej nigdy. Dlatego „nie zawiera żadnych błędów" jest zdaniem, którego żadna ilość testów nie uczyni prawdziwym — podobnie jak „każda osoba na tej diecie ma więcej energii". Uczciwa forma tezy o wszystkich brzmi inaczej: „wszystkie znane nam łabędzie są białe", czyli z wyraźnym zastrzeżeniem, jak daleko sięgnęliśmy.

Program nie zawiera żadnych błędów.
Testy pokazują obecność błędów, nigdy ich brak. Kombinacji danych i kolejności działań jest nieskończenie wiele, więc żadna liczba przejść nie uczyni tej tezy prawdziwą.

Z tego, że testy nie wykryły błędu, nie wynika, że błędów nie ma.
Testy mogą pokazać obecność błędów, nigdy ich brak: żadna liczba testów nie obejmie nieskończenie wielu kombinacji danych. Dlatego brak wykrytych błędów jest tylko brakiem wykrycia.

Program przeszedł szerokie testy, więc błędów łatwych do trafienia jest w nim raczej niewiele.
Cztery tysiące testów i dwa tygodnie prób nie znalazły ani jednego błędu, więc błędy łatwe do trafienia są raczej rzadkie. To wniosek ostrożny: mówi o błędach, które testy mogły trafić, a nie o wszystkich.

Podczas testów zespół znalazł w programie co najmniej jeden błąd.
To zdanie zaprzecza drugiej przesłance: nie znaleziono ani jednego błędu. Że błędy w programie są, jest bardzo możliwe — ale to co innego niż twierdzenie, że zespół je znalazł.

Testowanie oprogramowania nie ma sensu.
Za mocno. Kusi takie rozumowanie: testy nigdy nie dowiodą braku błędów, więc nie mają sensu. Testy robi się jednak po to, by znajdować błędy, i w tym są skuteczne — brak dowodu nieobecności błędów nie odbiera im wartości.

Zdanie „w lesie nie ma ani jednego wilka" jest tezą o wszystkich hektarach i o całym roku naraz. Żeby je udowodnić, trzeba by sprawdzić każdy skrawek lasu i mieć pewność, że żadne zwierzę nie przeszło tamtędy, gdy nikt nie patrzył. Aparaty obejmowały 12 z 3000 hektarów, czyli 0,4% lasu: ponad 99% powierzchni pozostało niewidzianych. Brak wilka na zdjęciach pokazuje tylko tyle, że żaden nie wszedł w pole widzenia aparatów — nie to, że nie ma go gdzie indziej. Nie wolno jednak przechylić się w drugą stronę i oświadczyć „wilki są, tylko się ukrywają": to też zdanie, którego zdjęcia nie wspierają. Zagęszczenie aparatów zmniejsza lukę, ale nie zmienia natury tezy o „ani jednym": zawsze zostanie jakiś nieobserwowany hektar. Uczciwa forma brzmi: „na naszych zdjęciach z tego roku wilka nie ma", z podaniem, jaką część lasu one obejmują.

W tym lesie nie ma ani jednego wilka i nigdy ich tu nie było.
Aparaty widziały 12 z 3000 hektarów, czyli 0,4% lasu. Brak wilka na zdjęciach mówi o tym kawałku, nie o całym lesie. „Ani jednego wilka" to teza o każdym hektarze i każdym dniu, a tego żadna liczba zdjęć nie sprawdzi.

Aparaty obserwowały mniej niż jedną setną lasu, więc wilk mógł w nim żyć cały rok i ani razu nie trafić na zdjęcie.
12 podzielone przez 3000 to 0,004, czyli mniej niż jedna setna. Wilk mógł więc spędzić cały rok na tych hektarach, których aparaty nie obejmowały, i nic by to nie zmieniło na zdjęciach. Wniosek mówi tylko, co jest możliwe, nie że wilk tam jest.

Z przesłanek nie wynika nic o ponad 99% powierzchni lasu, bo żaden aparat w tych miejscach nie patrzył.
Aparaty obejmowały 0,4% lasu, więc 99,6% nie było pod obserwacją. O tej części zdjęcia nie mówią nic — ani że wilki tam są, ani że ich nie ma.

Nie sposób stwierdzić na podstawie przesłanek, że pole widzenia aparatów było przez cały ten rok wolne od wilków.
Skoro aparat robi zdjęcie każdemu zwierzęciu w swoim polu widzenia, a wilka na zdjęciach nie ma, to w polu widzenia aparatów wilk się nie pojawił i przez cały rok było ono wolne od wilków. To wynika wprost, więc zdanie, że tego nie można stwierdzić, jest fałszywą skromnością. Brakuje dopiero kroku od „tu" do „wszędzie".

Wśród zdjęć zrobionych przez aparaty jest co najmniej jedno, na którym widać wilka.
Przesłanka mówi, że na żadnym zdjęciu nie ma wilka. Wniosek jej przeczy — nie jest zbyt mocny, tylko fałszywy.

W lesie żyją wilki, które są na tyle sprytne, że omijają aparaty.
To ten sam błąd w drugą stronę. Zdjęcia nie wykluczają wilków w niewidzianych 99% lasu, ale ich też nie potwierdzają — a „sprytne omijanie aparatów" to dopowiedziana historia. Prawdziwy stan wiedzy to „nie wiemy".

Zdanie „Olek nigdy nie kłamie" jest tezą o każdej wypowiedzi Olka: o tych sprawdzonych, o niesprawdzonych i o wszystkich, które dopiero padną. Marek sprawdził 30 z 600, czyli 5%, a pozostałe 570 rzeczy przyjął na słowo. Trzydzieści prawd z rzędu nie przesądza o tych 570: jedno kłamstwo ukryte wśród niesprawdzonych nie zmieniłoby w ogóle wyniku sprawdzenia. Nawet gdyby Marek sprawdził 599 rzeczy, ta jedna, ostatnia, wciąż mogłaby być kłamstwem, a słowo „nigdy" obejmuje jeszcze przyszłość. Z drugiej strony nie ma podstaw, by oskarżać Olka: nic w przesłankach nie wskazuje na kłamstwo. Uczciwa wersja tezy to „we wszystkich sprawdzonych przypadkach Olek mówił prawdę" — czyli zdanie z zastrzeżeniem, jak daleko sięgnęło sprawdzanie.

Olek nigdy nie kłamie i można mu wierzyć na słowo.
Marek sprawdził 30 z 600 rzeczy, czyli 5%. Wszystkie 30 były prawdą, ale „nigdy" obejmuje też 570 niesprawdzonych i wszystko, co Olek powie w przyszłości. Uczciwa wersja to „w sprawdzonych sprawach mówił prawdę".

Z tego, że Marek sprawdził tylko część tego, co usłyszał od Olka, nie wynika, że w pozostałych 570 rzeczach Olek nie skłamał.
600 − 30 = 570 rzeczy pozostało bez sprawdzenia. Skoro Marek ich nie sprawdził, nie wiemy, czy w którejś Olek skłamał. Wniosek mówi tylko, że kłamstwo było możliwe, nie że było.

Nawet kłamstwo w jednej z niesprawdzonych rzeczy nie zmieniłoby tego, że wszystkie 30 sprawdzonych było prawdą.
Trzydzieści sprawdzonych rzeczy zostaje prawdą niezależnie od tego, co w pozostałych 570. Wynik sprawdzenia nie wyklucza więc kłamstwa gdzie indziej — i tego dotyczy ten wniosek.

Z przesłanek nie wynika, żeby Marek sprawdził jedną dwudziestą wszystkich rzeczy, które Olek mu opowiedział.
30 z 600 to 30 : 600 = 5%, czyli jedna dwudziesta. Da się to policzyć z dwóch liczb podanych w przesłankach, więc twierdzenie, że to nie wynika, jest fałszywą skromnością.

Olek opowiedział Markowi w ciągu roku mniej niż sto rzeczy.
Pierwsza przesłanka mówi, że Olek opowiedział Markowi dokładnie 600 rzeczy. Zdanie, że było ich mniej niż sto, jej przeczy.

Olek kłamie, tylko Marek sprawdził akurat te rzeczy, w których mówił prawdę.
To ten sam błąd w drugą stronę. Marek nie sprawdził 570 rzeczy, więc nie można wykluczyć kłamstwa, ale nie ma też powodu, by twierdzić, że Olek kłamie. Z przesłanek wiemy tylko, że sprawdzone 30 było prawdą.

Zdanie „nigdy" jest tezą o wszystkich latach, także o tych, które jeszcze nie nadeszły — a obserwować można tylko lata, które minęły. Sześćdziesiąt sześć spokojnych lat to wiele, ale nie zmienia natury tezy: jedna wyższa powódź w przyszłości wystarczy, by ją obalić, a żadna liczba spokojnych lat jej nie udowodni. Przesłanki pozwalają za to policzyć margines: wał ma 5 metrów, rekord wody to 4, więc do zalania zabrakło metra. Gdyby rzeka urosła o ponad metr wyżej niż w 1997 roku, przelałaby się przez wał. Ten margines jest informacją, ale nie gwarancją: nie wiemy, czy rzeka kiedyś go nie przekroczy. Przeciwny błąd to ogłoszenie, że wał jest za niski i wieś na pewno zostanie zalana; to także teza o przyszłości, której przesłanki nie wspierają. Uczciwie można powiedzieć: „przez 66 lat woda nie przelała się przez wał, a w najgorszym roku zabrakło jej do tego metra".

Ta wieś jest bezpieczna i nigdy nie zostanie zalana przez rzekę.
Wał ma 5 metrów, rekord to 4, więc przez 66 lat do zalania zabrakło metra. Ale „nigdy" obejmuje także lata, które jeszcze nie nadeszły, a 66 lat obserwacji ich nie rozstrzyga. Teza o wszystkich przyszłych latach jest z zasady nieudowadnialna.

Gdyby woda urosła o ponad metr wyżej niż w 1997 roku, przelałaby się przez wał i zalała wieś.
Wał ma 5 metrów, a w 1997 roku woda miała 4. Jeśli urosłaby o ponad metr wyżej, miałaby ponad 5 metrów, czyli przelałaby się przez wał, a to — według przesłanek — oznacza zalanie wsi.

Z przesłanek nie wynika, że wieś nie zostanie zalana w latach, które dopiero nadejdą, bo tych lat jeszcze nie sprawdzono.
Spokojne 66 lat to obserwacje z przeszłości. Zdanie „nigdy" mówi także o latach, które dopiero będą, a one nie zostały jeszcze sprawdzone. Wniosek dotyczy zasięgu tezy, a nie samej rzeki.

Nie da się stwierdzić na podstawie przesłanek, że przez te 66 lat woda stale pozostawała poniżej szczytu wału.
Najwyższa woda miała 4 metry, a wał 5, więc w każdym roku woda była niższa niż szczyt wału. To wynika wprost z przesłanek, więc zdanie o niemożności jest fałszywą skromnością.

W którymś z ostatnich 66 lat woda przelała się przez wał i zalała wieś.
Przesłanka mówi, że przez 66 lat wieś ani razu nie została zalana. Zdanie, że któregoś roku to się stało, jej przeczy.

Wał jest za niski na tę rzekę i wieś zostanie zalana już w ciągu najbliższych lat.
To ten sam błąd w drugą stronę. Wał jest o metr wyższy niż rekord, a z tego nie wynika, że za chwilę rzeka wzbierze jeszcze wyżej. Stanowcza zapowiedź zalania, tak samo jak zapowiedź, że do zalania nigdy nie dojdzie, to teza o przyszłości, której nikt nie może udowodnić.

Więźniowie to skrajny przypadek, nie przeciętny — a skrajne przypadki przechyla się o wiele łatwiej niż środek. Wyobraź sobie dwie grupy o identycznej średniej, w których jedna ma o 15% większy rozrzut. Tyle wystarcza, by w jednym promilu najwyższych wyników znalazło się 81% osób z tej właśnie grupy. Na drugim końcu działa to tak samo, dlatego przesłanka o składzie więzień opisuje jednocześnie skład grona noblistów — i żadna z tych liczb nie mówi nic o przeciętnym mężczyźnie. Co ważne, do wyjaśnienia tej dysproporcji nie trzeba wcale sięgać po kulturę ani dyskryminację: sama różnica rozrzutu wystarcza. To nie znaczy, że za tym stoi — znaczy, że skład ekstremum nie jest dowodem na nic poza składem ekstremum.

Kobiety trafiają do więzienia rzadziej niż mężczyźni, choć jest ich tyle samo.
Tu potrzebny jest jeden krok: „więcej osób" samo nie znaczy „częściej", bo zależy to od liczebności grup. Tło tę liczebność podaje — płci jest w kraju po tyle samo — więc przejście do częstości jest uczciwe.

Mężczyźni mają większą skłonność do łamania prawa niż kobiety.
Przesłanka mówi o garstce ludzi, a wniosek o wszystkich mężczyznach. Dokładnie tak samo dałoby się "dowieść", że mężczyźni mają większą skłonność do odkryć naukowych, bo wśród noblistów też jest ich znacznie więcej.

Mężczyźni bardziej się między sobą różnią, więc jest ich więcej na obu końcach skali.
To dobre wyjaśnienie i pasuje do danych, ale sam skład więzień go nie potwierdza. Równie dobrze pasowałoby wyjaśnienie, że po prostu przeciętny mężczyzna łamie prawo nieco częściej — przesłanka nie pozwala wybrać.

Z przesłanek nie wynika, żeby wśród osób trafiających w ciągu roku do więzień kobiet było mniej niż połowa.
Wynika, i to bez żadnego tła: skoro mężczyzn trafia do więzień znacznie więcej niż kobiet, to kobiety stanowią mniej niż połowę trafiających. Dopiero przejście od liczb do częstości wymaga wiedzy, że obu płci jest w kraju po równo.

Sądy traktują mężczyzn surowiej niż kobiety.
Możliwe, ale to tylko jedno z kilku wyjaśnień tych samych danych — i nic w przesłance go nie wyróżnia.

Płeć nie ma nic do rzeczy, jeśli chodzi o łamanie prawa.
Przesłanka nie uzasadnia ani tego wniosku, ani jego przeciwieństwa. To, że nie wolno wnioskować o wszystkich ze skrajnych przypadków, nie znaczy, że wiemy, iż różnicy nie ma.

Siedmioro uczniów klasy A w najlepszej dziesiątce wygląda na dowód, że ta klasa świetnie liczy. Ale ta sama klasa ma też ośmioro uczniów w dziesiątce najsłabszych. Skrajne miejsca na obu końcach rankingu zajmuje więc grupa, w której wyniki są najbardziej rozrzucone, a niekoniecznie grupa po prostu lepsza. Wystarczy, że uczniowie jednej klasy bardziej się między sobą różnią, i nawet przy tej samej przeciętnej będzie ich najwięcej i na samej górze, i na samym dole. Klasa A to jedna ósma uczniów, a ma piętnaścioro z dwudziestu miejsc skrajnych, czyli sześć razy więcej, niż wynikałoby z jej wielkości. To nie znaczy, że klasa A nie jest lepsza — znaczy, że ranking skrajności tego nie pokazuje. Żeby ocenić klasę, trzeba by znać wyniki wszystkich jej dwudziestu pięciu uczniów, a nie tylko tych, którzy wpadli w skrajne dziesiątki.

Klasa A to jedna ósma szkoły, a należy do niej piętnaścioro z dwudziestu uczniów z obu końców rankingu.
Siedmioro w czołówce i ośmioro na dole to razem piętnaścioro z dwudziestu miejsc skrajnych, czyli trzy czwarte, choć klasa A to dwadzieścia pięć osób z dwustu, czyli jedna ósma. Wniosek wynika z dodawania i porównania udziałów, bez żadnej tezy o przeciętnym uczniu.

Uczniowie z obu końców rankingu to razem tylko jedna dziesiąta wszystkich uczniów szkoły.
Po dziesięciu uczniów z każdego końca to dwudziestu z dwustu, czyli jedna dziesiąta szkoły. Klasa A ma uczniów i w czołówce, i na szarym końcu, więc jej obecność w skrajnych dziesiątkach nie rozstrzyga, jak liczy zwykły uczeń tej klasy. Wniosek niczego nie zakłada o klasie A — mówi tylko, jak mały jest to wycinek szkoły.

Uczniowie klasy A są z matematyki lepsi od uczniów z pozostałych klas.
Przytoczona jest tylko górna dziesiątka. Tym samym argumentem, patrząc na dolną dziesiątkę, wyszłoby, że klasa A jest najsłabsza. Skoro dane „dowodzą" obu rzeczy naraz, nie dowodzą żadnej.

Uczniowie klasy A są z matematyki przeciętnie słabsi od uczniów z pozostałych klas.
To lustrzane odbicie poprzedniego błędu: patrzy tylko na dolną dziesiątkę. Ta sama klasa ma siedmioro uczniów w dziesiątce najlepszych, więc skrajne miejsca nie pozwalają wnosić, że przeciętny uczeń klasy A jest słabszy.

W klasie A wyniki różnią się między uczniami bardziej niż w innych klasach, stąd tylu uczniów i na górze, i na dole.
To dobre wyjaśnienie obu końców rankingu naraz i pasuje do danych. Nie jest jednak wykazane: przesłanki nie podają, jak wyglądają wyniki w środku klas, więc rozrzutu nie da się z nich zmierzyć.

Przesłanki nie przesądzają, że w dziesiątce najlepszych jest więcej uczniów z klasy A niż z którejkolwiek innej klasy.
Wynika. W dziesiątce najlepszych jest siedmioro uczniów z klasy A, więc na wszystkie pozostałe klasy zostają łącznie trzy miejsca. Żadna inna klasa nie może mieć więcej niż trzy.

Najgorętszy i najzimniejszy dzień to dwa skrajne dni z trzystu sześćdziesięciu pięciu. Mówią więc o tym, jak szeroko waha się pogoda, a nie o tym, jaka jest zwykle. Różnica między skrajami wynosi w Kalinowie 36 minus (−22), czyli 58 stopni, a w Morskiej Woli 27 minus (−3), czyli 30 stopni — prawie dwa razy mniej. Samych temperatur z dni typowych nie znamy. Gdyby oprzeć się tylko na upale, wyszłoby, że Kalinowo jest cieplejsze, a gdyby tylko na mrozie — że chłodniejsze. Te same dane „dowodzą" obu rzeczy, czyli żadnej. Miasto z palącym latem i srogą zimą może mieć zwykłą wiosnę i jesień, a miasto bez rekordów nie musi być chłodne. Do porównania klimatów potrzebna byłaby przeciętna z wielu dni, a nie najwyższy i najniższy odczyt.

Rozpiętość temperatur w ciągu roku była w Kalinowie większa niż w Morskiej Woli.
Skrajne dni dają dokładnie jedną rzecz: rozpiętość. Kalinowo miało i wyższy szczyt (36 stopni wobec 27), i niższe dno (minus 22 wobec minus 3), więc jego temperatury rozciągały się szerzej niż w Morskiej Woli. Wniosek nie mówi nic o tym, jak jest zwykle, tylko o rozstępie między skrajami.

Najgorętszy i najzimniejszy dzień to razem mniej niż jeden procent dni w roku.
Dwa dni z 365 to mniej niż jeden procent roku. Te dwa odczyty nie ustalają, jak wyglądają pozostałe dni: miasto z większym upałem i większym mrozem może mieć przeciętną wyższą, niższą albo taką samą. Wniosek mówi tylko, jak mały jest to wycinek roku, i niczego nie rozstrzyga o tym, które z miast jest cieplejsze.

Klimat w Kalinowie jest cieplejszy niż w Morskiej Woli.
Wniosek bierze pod uwagę tylko jeden koniec skali. W Kalinowie był też większy mróz, więc tym samym argumentem można by „udowodnić", że jest tam zimniej.

Klimat w Kalinowie jest chłodniejszy niż w Morskiej Woli.
To lustrzane odbicie poprzedniego błędu. Kalinowo miało też większy upał, więc patrząc na ten koniec skali, wyszłoby coś odwrotnego. Skrajne dni nie rozstrzygają, które miasto jest chłodniejsze.

Przesłanki nie przesądzają, że najniższą temperaturę zeszłego roku zanotowano w Kalinowie.
Wynika, i to jednym porównaniem: minus 22 stopnie w Kalinowie to mniej niż minus 3 w Morskiej Woli. Trudność tego przypadku leży w tym, co z takich skrajnych liczb można wyciągnąć dalej, a nie w samym porównaniu.

Pięciu najbogatszych ludzi w kraju to najskrajniejszy kawałek całego rozkładu majątków. Kiedy troje z nich rzuciło studia, łatwo o wniosek, że rzucenie studiów prowadzi do fortuny. Tyle że studia rzuciły miliony ludzi, a w gronie pięciu najbogatszych jest ich najwyżej troje. Zdecydowana większość tych, którzy studia rzucili, do tego grona nie trafia, więc dzieje trojga niczego nie mówią o losie zwykłego człowieka bez dyplomu. Skrajny wynik pokazuje, co jest możliwe, a nie co jest typowe ani co jest skutkiem czego. Żeby sprawdzić, czy rzucenie studiów pomaga, trzeba by porównać los wszystkich, którzy je rzucili, z losem wszystkich, którzy je skończyli, a nie same wierzchołki obu grup.

Studia rzuciły miliony, a w gronie najbogatszych jest ich garstka — więc prawie nikt z nich tam nie trafił.
Z milionów, które rzuciły studia, w gronie pięciu najbogatszych jest najwyżej troje, czyli zaledwie garstka. Reszta, czyli niemal wszyscy, w tym gronie się nie znalazła. Wniosek składa dwie przesłanki: jedna podaje, ilu bogaczy rzuciło studia, druga, ilu ludzi je rzuciło w ogóle.

Kto rzuci studia, ma większe szanse na wielki majątek niż ten, kto je skończy.
Przesłanki nie mówią nic o losie tych, którzy studia skończyli, więc nie ma z czym porównać. Trzy osoby na szczycie nie ustalają, jak potoczyło się życie milionów innych.

Rzucenie studiów nie ma związku z tym, czy ktoś zostanie bardzo bogaty.
Z tych dwóch przesłanek nie da się też wykazać braku związku. Brak dowodu, że rzucenie studiów pomaga, nie jest dowodem, że nie ma żadnego znaczenia.

Wszyscy najbogatsi Polacy to ludzie, którzy rzucili studia.
Przesłanka mówi o trojgu z pięciu, więc dwoje z nich studiów nie rzuciło. Wniosek robi z „troje z pięciu" słowo „wszyscy" i rozciąga je jeszcze poza te pięć osób.

Ludzie gotowi na duże ryzyko częściej rzucają studia i częściej zakładają firmy, które potem się rozrastają.
Możliwe, że tak jest, ale nic w przesłankach tego nie sprawdza. Pasowałoby do trojga bogaczy, tak samo jak wiele innych wyjaśnień, więc nie ma tu podstaw, by je wyróżnić.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że wśród pięciu najbogatszych Polaków jest ktoś, kto studiów nie rzucił.
Wynika. Troje z pięciu rzuciło studia, więc pozostałych dwoje ich nie rzuciło. To jedno odejmowanie, a udawana ostrożność tylko je przesłania.

Nagranie z prędkością 210 kilometrów na godzinę robi wrażenie, ale to najskrajniejszy z 60 000 przypadków. Fotoradar zrobił zdjęcia 900 kierowcom, więc pozostałych 59 100 nie przekroczyło limitu. Nagrany kierowca należy do mniej niż dwóch na stu przejeżdżających. Dlatego jego prędkość mówi, co się na tej ulicy zdarza, a nie jak jeżdżą kierowcy zwykle. Wiadomości wybrały najszybszego, bo właśnie to jest ciekawe, i z samego tego wyboru wynika, że widzimy skrajność, a nie środek. Nie znaczy to, że 900 kierowców miesięcznie to nic — taka liczba może być poważnym problemem. Znaczy tylko, że o całej ulicy mówi liczba wszystkich pomiarów, a nie najwyższy z nich.

Ponad 59 000 kierowców przejechało ulicą Szerokią w marcu, nie przekraczając limitu prędkości.
Z 60 000 sprawdzonych kierowców zdjęcie zrobiono 900, a pozostałych 59 100 limitu nie przekroczyło. To jest zwykłe odejmowanie, ale pokazuje, że nagranie opisuje bardzo wąski wycinek wszystkich kierowców.

Z przesłanek nie wynika, żeby nagranie najszybszego kierowcy pokazywało, jak jeździ typowy kierowca na ulicy Szerokiej.
Skoro limit przekroczyło 900 z 60 000 kierowców, najszybszy z nich jest skrajnością, a nie przykładem zwykłej jazdy. Wniosek nie twierdzi, że na ulicy jest bezpiecznie — mówi tylko, że to nagranie nie pozwala niczego wnosić o typowym kierowcy.

Kierowcy na ulicy Szerokiej jeżdżą zwykle znacznie szybciej, niż pozwala limit.
Przesłanki mówią coś odwrotnego: limit przekroczyło tylko 900 z 60 000 kierowców. Wniosek robi z jednego skrajnego nagrania regułę dla wszystkich.

Na ulicy Szerokiej nie ma problemu z prędkością i fotoradar jest zbędny.
To, że przekraczających jest mało w stosunku do wszystkich, nie rozstrzyga, czy 900 kierowców miesięcznie to problem. Przesłanki nie mówią nic o skutkach ani o tym, co jest tu wielką liczbą, więc nie wynika z nich też, że fotoradar jest zbędny. Odrzucenie przesady nie uzasadnia przesady w drugą stronę.

Przesłanki nie przesądzają, że w marcu limit przekroczyło więcej niż pięciuset kierowców.
Wynika wprost: zdjęcie zrobiono 900 kierowcom, a 900 to więcej niż 500. Ostrożne „nie przesądzają" jest tu udawaną skromnością przy liczbie, którą podano w przesłankach.

Średnia i „środek" to dwie różne liczby i zlewają się w jedną tylko wtedy, gdy wszyscy są do siebie podobni. Na dwie równe połowy dzieli ludzi mediana, czyli zarobek osoby dokładnie ze środka stawki. Gdy garstka ludzi zarabia krocie, średnia wędruje w ich stronę i zostawia pod sobą wyraźnie więcej niż połowę pracujących — a o typowym pracowniku przestaje mówić cokolwiek. Skrajnym przykładem jest rynek książki: gdyby na targi weszła autorka serii sprzedanej w stu milionach egzemplarzy, średnia sprzedaż obecnych tam autorów skoczyłaby około tysiąckrotnie, choć o żadnym z nich nie zmieniłoby się nic. Przy takich rozkładach sensownymi liczbami są mediana i centyle, nie średnia.

Połowa pracujących zarabia więcej niż 8400 zł.
Mediana 6700 zł mówi tylko tyle, że powyżej niej zarabia najwyżej połowa pracujących. Czy ponad 8400 zł zarabia połowa, mniej osób, czy garstka, tego przesłanki nie rozstrzygają — a średnia nie dzieli ludzi na pół, od tego jest mediana.

Skoro połowa pracujących zarabia mniej niż 6700 zł, to co najmniej połowa zarabia mniej niż wynosi średnia.
Skoro połowa ludzi jest pod 6700 zł, to ta sama połowa jest też pod 8400 zł. „Co najmniej" jest tu konieczne: powyżej 6700 zł może, ale nie musi być nikogo między 6700 a 8400.

Z przesłanek nie wynika, żeby każdy, kto zarabia więcej niż wynosi średnia, należał do lepiej zarabiającej połowy.
Wynika: kto zarabia więcej niż 8400 zł, zarabia też więcej niż 6700 zł, więc leży w górnej połowie listy. Wystarczy porównać dwie liczby — trudne jest dopiero to, co z różnicy między nimi wynika.

Średnia pensja leży o 1700 zł wyżej niż zarobek osoby ze środka stawki.
Wystarczy odjąć: 8400 minus 6700 to 1700 zł. Taka różnica między średnią a środkiem stawki bierze się z góry rozkładu.

Zwykły pracownik zarabia około 8400 zł.
Średnia leży 1700 zł powyżej środka stawki, więc nie opisuje typowego pracownika. O nim mówi ta druga liczba — 6700 zł.

Średnia 1,9 nogi na mieszkańca brzmi jak opis człowieka, który ma prawie dwie nogi — a takiego człowieka w miasteczku nie ma. Zdecydowana większość ma dokładnie dwie, a średnią obniża garstka osób, które mają mniej. Skoro nikt nie ma więcej niż dwóch nóg, każdy brak odejmuje od sumy co najmniej jedną nogę. Łączny niedobór to 100 razy 2 minus 190, czyli 10 nóg, więc osób z mniej niż dwiema nogami jest najwyżej dziesięć. Średnia leży poniżej wartości, którą ma co najmniej dziewięćdziesiąt osób, więc tu zwykła osoba ma więcej, niż wynosi średnia — odwrotnie niż przy zarobkach, gdzie średnia wisi nad większością. Średnia jest wynikiem rachunku na wszystkich, a nie opisem kogokolwiek.

Mniej niż dwie nogi ma w tym miasteczku najwyżej dziesięć osób.
Gdyby wszyscy mieli po dwie nogi, nóg byłoby 200, a jest ich 190. Brakuje więc dziesięciu, a każda osoba z mniejszą liczbą nóg odpowiada za brak co najmniej jednej. Takich osób jest najwyżej dziesięć.

Zdecydowana większość mieszkańców ma dokładnie dwie nogi, czyli więcej, niż wynosi średnia dla całego miasteczka.
Brakuje 10 nóg z 200, więc najwyżej dziesięć osób ma mniej niż dwie nogi. Wszyscy pozostali, czyli co najmniej 90 osób, mają dokładnie dwie, a dwa to więcej niż 1,9. Średnia leży poniżej tego, co ma większość.

Dokładnie dziesięć osób w miasteczku ma tylko jedną nogę.
Średnia 1,9 mówi tylko, że w sumie brakuje dziesięciu nóg. Mogą ich brakować dziesięciu osobom po jednej, ale równie dobrze jednej osobie bez żadnej nogi albo pięciu osobom po dwie. Z danych wynika tylko, że takich osób jest najwyżej dziesięć, a nie że jest ich dokładnie dziesięć.

Każdy mieszkaniec tego miasteczka ma dokładnie dwie nogi, bez wyjątku.
Gdyby każdy miał dwie nogi, średnia wyniosłaby dokładnie 2, a nie 1,9. Skoro jest mniejsza, ktoś ma mniej. Ten wniosek przeczy przesłankom i nie jest tylko niedouzasadniony.

Przesłanki nie przesądzają, że wszyscy mieszkańcy miasteczka mają razem 190 nóg.
Wynika: średnia razy liczba osób to 100 razy 1,9, czyli 190 nóg. Średnia i liczebność jednoznacznie wyznaczają sumę, więc ostrożne „nie przesądzają" jest tu nietrafione.

Średnia 60 punktów wygląda jak „typowy wynik", ale uczeń ze środka listy ma 80, a nie 60. Na dziesiątym i jedenastym miejscu listy są wyniki po 80 punktów, więc wszyscy od dziesiątego miejsca w górę, czyli jedenaścioro uczniów, mają co najmniej 80. To więcej niż połowa klasy i każdy z nich ma wynik wyższy od średniej. Tu średnia leży poniżej środka, bo obniża ją słabsza część klasy, której wyniki są wyraźnie niższe niż reszty. To odwrotność zwykłego przykładu z zarobkami, gdzie średnia wisi nad większością, ale mechanizm jest ten sam: średnia i „środek" to różne liczby, a zlewają się w jedną tylko wtedy, gdy wyniki są do siebie podobne. Żeby powiedzieć, jak poszło typowemu uczniowi, trzeba spojrzeć na wynik ze środka listy, nie na średnią.

Skoro dziesiąty i jedenasty uczeń mają po 80 punktów, więcej niż połowa klasy ma wynik wyższy od średniej.
Skoro dziesiąty uczeń ma 80 punktów, to on i wszyscy powyżej niego, czyli jedenaścioro, mają co najmniej 80. To więcej niż średnia 60, a jedenaście to więcej niż połowa z dwudziestu. Średnia leży więc poniżej wyniku większości.

Typowy uczeń w tej klasie dostał dokładnie tyle punktów, ile wynosi średnia całej klasy.
Osoby ze środka listy mają po 80 punktów, a nie po 60. Średnia 60 wynika z rachunku na całej klasie, a nie z wyniku typowego ucznia.

Średnia klasy jest wyższa od wyniku ucznia ze środka listy.
Kierunek jest odwrócony. Uczeń ze środka listy ma 80 punktów, a średnia to 60, więc to średnia leży poniżej wyniku ze środka, a nie powyżej. Co najmniej jedenaścioro uczniów ma 80 punktów lub więcej, więc poniżej średniej jest najwyżej dziewięcioro.

Średnią obniżyło kilku uczniów z bardzo niskimi wynikami.
To dobra poszlaka: skoro ponad połowa klasy ma co najmniej 80 punktów, a średnia to tylko 60, słabsza część musi mieć wyniki wyraźnie niskie. Nie wiemy jednak, ilu uczniów i jakie dokładnie, więc „kilku" to więcej, niż dane pozwalają stwierdzić.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że wszyscy uczniowie zdobyli z klasówki razem 1200 punktów.
Wynika: średnia razy liczba uczniów to 20 razy 60, czyli 1200. Średnia i liczebność zawsze wyznaczają sumę, więc udawane „nie ma niczego, co pozwalałoby" jest tu zbyt ostrożne.

Średnia 50 minut to 500 minut łącznego czekania podzielone na dziesięć osób. Pięciu pacjentów wzięło z tej sumy tylko 50 minut, więc pozostałe 450 minut przypada na pozostałą piątkę: średnio po 90. Nikt na liście nie musi czekać akurat około 50 minut — średnia leży między dwiema grupami i żadnej nie opisuje. Tu średnia wisi nad pierwszą piątką, a pod średnią drugiej piątki, co jest typowe, gdy wyniki dzielą się na dwie odległe grupy. Zdanie „czekało się średnio 50 minut" nie mówi więc pacjentowi, czego ma się spodziewać: równie dobrze może to być 10 minut, jak półtorej godziny. Przy takich danych trzeba podać rozkład albo środkową wartość, a nie jedną średnią.

Pacjenci, którzy nie weszli do gabinetu jako pierwsi, czekali na wizytę średnio po 90 minut.
Wszyscy razem czekali 500 minut. Pierwsza piątka czekała razem 5 razy 10, czyli 50, więc na pozostałą piątkę zostaje 450 minut, a to średnio 90 na osobę.

Któryś z pacjentów czekał na wizytę dłużej niż godzinę.
Pozostała piątka pacjentów czekała razem 500 minus 50, czyli 450 minut, więc średnio 90. Gdyby każdy z niej czekał godzinę albo krócej, średnia z tej piątki nie przekroczyłaby 60. Któryś musiał więc czekać co najmniej 90 minut.

Typowy pacjent czekał w poniedziałek na wizytę około 50 minut.
Połowa pacjentów czekała 10 minut, a pozostali średnio 90, więc nikt nie musiał czekać około 50. Średnia leży między dwiema grupami i żadnej nie opisuje.

Pacjenci czekali w poniedziałek na wizytę średnio mniej niż 50 minut.
Przesłanka podaje, że wszyscy razem czekali 500 minut, czyli średnio dokładnie 50 minut na osobę, a nie mniej. Wniosek przeczy przesłankom, a nie jest tylko przesadzony.

Pięciu pacjentów weszło szybko, bo mieli umówioną godzinę, a pozostali przyszli bez umówienia.
Mogło tak być, ale przesłanki nic o umawianiu wizyt nie mówią. Równie dobrze o kolejności mogły zdecydować godziny przyjścia albo pilność przypadku. To tylko jedno z wyjaśnień, nic go tu nie wyróżnia.

Przesłanki nie pozwalają ustalić, ile łącznie czasu czekali ci pacjenci, którzy weszli do gabinetu najszybciej.
Da się ustalić: pięciu pacjentów po dokładnie 10 minut to 5 razy 10, czyli 50 minut razem. To jedno mnożenie, a udawane „nie da się ustalić" tylko je przesłania.

Dane o części ludzi mówią coś o wszystkich tylko wtedy, gdy ta część została wybrana losowo. Tutaj przesiano ją dwa razy: najpierw przez to, kto wchodzi na stronę dla biegaczy, a potem przez to, kto ma ochotę wypełniać ankiety. Cztery tysiące odpowiedzi nic tu nie naprawia — duża próba zmniejsza przypadek, a nie przekrzywienie; czterdzieści tysięcy biegaczy dałoby tę samą odpowiedź, tylko pewniej. Jak mówi żart statystyków, 99% ludzi chętnie bierze udział w ankietach, co pokazało nasze ostatnie badanie ankietowe. Problem dotyczy też poważnej nauki: w czołowych pismach psychologicznych 96% badanych pochodziło z bogatych krajów Zachodu, a dwie trzecie badanych Amerykanów to studenci psychologii.

Zdecydowana większość Polaków uprawia sport kilka razy w tygodniu.
Ankieta wisiała na stronie dla biegaczy, więc odpowiadali ludzie z definicji aktywni. O Polakach nie mówi nic.

Ta ankieta mówi coś o użytkownikach tej strony, a nie o mieszkańcach kraju.
To cofnięcie się do grupy, którą naprawdę zbadano. Tyle i tylko tyle z tej ankiety wynika — a to nie jest zero informacji, tylko informacja o innej populacji.

Cztery tysiące odpowiedzi to dość, żeby wnioskować o całym kraju.
Duża próba zmniejsza losowy błąd, a nie przekrzywienie. Czterdzieści tysięcy biegaczy dałoby tę samą odpowiedź, tylko z większą pewnością.

Z przesłanek nie wynika, ilu wypełniających ankietę uprawia sport co najmniej trzy razy w tygodniu.
Wynika, i to wprost: 82% z czterech tysięcy to około 3280 osób. O grupie, która ankietę wypełniła, te dane są solidne — wątpliwe jest tylko przenoszenie ich na kogoś innego. Udawana ostrożność miesza te dwie sprawy.

Próba jest przesiana dwa razy: przez to, kto wchodzi na tę stronę, i przez to, kto chce wypełniać ankiety.
Pierwsze przesianie jest w przesłankach, drugie dopowiadamy z wiedzy o tym, kto w ogóle wypełnia ankiety. Trafne spostrzeżenie, choć wykracza poza podane dane.

Ze średniej 4,7 wynika, że dwieście osób, które napisały opinię, jest z czajnika średnio bardzo zadowolonych. Ale piszą tylko ci, którzy chcą pisać: pozostałych czterech tysięcy ośmiuset kupujących nie ma w tej średniej wcale. Nie wiemy, czy się nie odezwali, bo czajnik jest w porządku i nie mają o czym mówić, czy dlatego, że kupili i zapomnieli. Dwieście ocen to dużo i zmniejsza losowy błąd, ale kierunku przekrzywienia nie naprawia: dwa tysiące ocen od tych samych chętnych dałoby tę samą odpowiedź, tylko pewniej. Zgłaszają się ci, których sprawa obchodzi. Średnia jest prawdziwa dla tych, którzy ją wystawili; o całości kupujących mówi tylko tyle, że dwieście osób z pięciu tysięcy jest zadowolonych.

Prawie wszyscy kupujący uważają ten czajnik za bardzo dobry.
Średnia dotyczy dwustu osób z pięciu tysięcy, które same postanowiły się wypowiedzieć. Zdania pozostałych czterech tysięcy ośmiuset nie znamy, więc słowo „prawie wszyscy” nie ma oparcia.

Ocenę czajnika wystawiły tylko cztery osoby na każde sto spośród pytanych kupujących.
Poproszono pięć tysięcy osób, a ocenę wystawiło dwieście. Dwieście podzielone przez pięć tysięcy to cztery setne, czyli cztery osoby na sto. Pozostałych 96 na 100 kupujących, czyli cztery tysiące osiemset, średnia 4,7 nie obejmuje.

Średnia 4,7 opisuje zdanie osób, które same postanowiły napisać opinię, a nie wszystkich kupujących.
Dwieście ocen pochodzi od osób, które same zdecydowały się napisać. Średnia 4,7 jest prawdziwa dla nich, ale nie wiemy, czy podobne zdanie mają ci, którzy zdecydowali się nie pisać.

Dwa tysiące kolejnych ocen od chętnych pokazałoby, jak oceniają ten czajnik wszyscy kupujący.
Liczba ocen zmniejsza losowy błąd, ale nie naprawia tego, kto się zgłosił. Dwa tysiące ocen od tych samych chętnych byłoby przekrzywione w ten sam sposób, tylko z większą pewnością.

Przesłanki nie przesądzają, że osoby, które wystawiły ocenę, oceniały czajnik średnio wyżej niż na 4 z 5.
Wynika: średnia ocen tych dwustu osób to 4,7 gwiazdki, a to więcej niż 4. Wystarczy porównać dwie liczby; trudność przypadku leży gdzie indziej, bo średnia opisuje tylko tych, którzy ocenę wystawili.

Ocenę najchętniej piszą ci, którzy mają o produkcie silne zdanie, a nie ci, którym jest obojętny.
Wiarygodne i zgodne ze zwykłym zachowaniem ludzi, ale przesłanki nie mówią, kto i dlaczego pisze; to wiedza o świecie. Dlatego to dobra poszlaka, a nie wniosek z podanych zdań.

Siedmiuset pacjentów z nadciśnieniem na tysiąc wygląda na to, że w miasteczku choruje siedem osób na dziesięć. Ale pacjenci przychodni kardiologicznej nie są losową częścią mieszkańców: do kardiologa idzie ten, kto sam uznał, że warto się zbadać. To próba, która sama się wybrała, i to w sposób związany z tym, o co pytamy. Z danych wynika tylko tyle, że nadciśnienie ma co najmniej siedmiuset mieszkańców, czyli siedem procent. O pozostałych dziewięciu tysiącach nie wiemy nic z tej liczby: mogą być tak samo chorzy, mogą być w ogóle zdrowi, a prawdziwy odsetek leży gdzieś między dolną granicą siedmiu procent a bardzo wysoką liczbą. Ci, którzy sami się zgłosili, powiedzą coś o sobie, ale nie o całej społeczności.

Siedmiu na dziesięciu mieszkańców miasteczka ma nadciśnienie.
70% to odsetek wśród tych, którzy sami przyszli do kardiologa. Mieszkańców, którzy tam nie zajrzeli, jest dziewięć razy więcej, a o ich ciśnieniu ta liczba milczy.

Nadciśnienie ma co najmniej 700 mieszkańców miasteczka, czyli co najmniej 7% wszystkich.
Siedmiuset pacjentów to mieszkańcy miasteczka z nadciśnieniem. Siedemset z dziesięciu tysięcy to siedem procent, więc tyle jest co najmniej; ile jest naprawdę, zależy od dziewięciu tysięcy osób, które do przychodni nie przyszły.

W zeszłym roku do tej przychodni nie zgłosiło się dziewięć na dziesięć osób z miasteczka.
Zgłosił się tysiąc z dziesięciu tysięcy, czyli jedna dziesiąta, a reszta to dziewięć dziesiątych. To rachunek, ale pokazuje, że siedemdziesiąt procent opisuje niewielką, wyselekcjonowaną część mieszkańców.

Każdy mieszkaniec miasteczka z nadciśnieniem zgłosił się w zeszłym roku do tej przychodni.
Przesłanki mówią o pacjentach: siedmiuset z tysiąca, który się zgłosił, miało nadciśnienie. Zdanie odwraca to na „każdy mieszkaniec z nadciśnieniem był wśród pacjentów”. Mieszkańcy z nadciśnieniem, którzy do kardiologa nie poszli, mogą istnieć i w tych danych ich po prostu nie ma.

Przesłanki nie przesądzają, że nadciśnienia nie miało trzystu pacjentów przychodni.
Wynika: tysiąc pacjentów minus siedmiuset z nadciśnieniem to trzystu bez nadciśnienia. To prosty rachunek, a udawane „nie przesądzają” tylko odbiera mu wartość.

Do kardiologa zgłaszają się głównie osoby, które coś niepokoi, więc wśród pacjentów chorych jest więcej niż wśród ogółu.
Wiarygodne i to jest właśnie mechanizm samowyboru: kto idzie do kardiologa, idzie z jakiegoś powodu. Przesłanki mówią jednak tylko, że każdy przyszedł sam, a nie dlaczego, więc to dobra poszlaka, a nie dowód.

Siedemdziesiąt procent zgłoszonych sypia krócej niż sześć godzin, więc łatwo uznać, że krótko śpi większość dorosłych. Ale ogłoszenie zaczynało się od pytania „Źle sypiasz?”, więc samo sortowało czytelników: odpowiadali ci, którzy uznali, że ich to dotyczy. Dobrze śpiący miał mniej powodów, by się zgłaszać. To samoselekcja, w której powód zgłoszenia jest ściśle związany z tym, co mierzymy. Dołożenie kolejnych kilkuset zgłoszeń nic by tu nie zmieniło, bo zbierałyby się z tego samego sita. Dane mówią coś prawdziwego o tych 120 osobach, ale nie pozwalają policzyć odsetka dorosłych, którzy krótko sypiają, ani w górę, ani w dół. Odpowiedzi opisują tych, którzy sami się wybrali, a nie populację.

Siedemdziesiąt procent dorosłych sypia krócej niż sześć godzin.
Ogłoszenie zachęcało tych, którzy źle sypiają, więc zgłosili się głównie oni. Siedemdziesiąt procent wśród zgłoszonych nie mówi, ile osób krótko sypia wśród wszystkich dorosłych.

Wśród osób, które się zgłosiły, krócej niż sześć godzin sypia siedem na dziesięć.
84 ze 120 to 70%, czyli siedem osób na dziesięć. To rachunek na grupie, która zgłosiła się po ogłoszeniu o złym śnie, więc dotyczy jej, a nie ogółu dorosłych.

Z tych zgłoszeń nie da się wyliczyć, jaki odsetek dorosłych sypia krócej niż sześć godzin.
Ogłoszenie pytało „Źle sypiasz?”, więc przyciągało przede wszystkim tych, którzy uznają, że źle sypiają. Wniosek nie twierdzi, że odsetek jest wysoki ani niski, tylko że z takiej grupy nie da się go odczytać.

Każdy, kto sypia krócej niż sześć godzin, zgłosił się na badanie snu.
Przesłanki mówią o zgłoszonych: osiemdziesiąt cztery z nich sypia krócej niż sześć godzin. Zdanie odwraca to na „każdy, kto sypia krótko, jest wśród zgłoszonych”. Wielu krótko sypiających mogło nigdy nie zobaczyć ogłoszenia albo nie zdecydować się na badanie.

Przesłanki nie przesądzają, że sześć godzin lub dłużej sypia trzydzieści sześć spośród zgłoszonych osób.
Wynika: zgłosiło się 120 osób, a 84 z nich sypia krócej niż sześć godzin, więc pozostałe 36 sypia sześć godzin lub dłużej. To jedno odejmowanie, a udawane „nie przesądzają” tylko je przesłania.

Osoby, które dobrze sypiają, rzadziej czuły, że ogłoszenie jest do nich, więc rzadziej się zgłaszały.
Wiarygodne, bo ogłoszenie zaczynało się od pytania o zły sen, ale przesłanki nie mówią nic o tym, kto się nie zgłosił. To mechanizm, który tłumaczyłby przekrzywienie, a nie fakt, który da się sprawdzić w podanych liczbach.

Średnia opisuje przeciętnego człowieka tylko wtedy, gdy wyniki skupiają się wokół niej. Przy spożyciu alkoholu nie skupiają się nawet trochę: jedna trzecia nie pije nic, większość pije niewiele, a nieliczni piją ogromnie. W takim rozkładzie średnią windują ci z końca ogona i o przeciętnym człowieku mówi ona mniej niż nic — bo brzmi, jakby mówiła dużo. Wystarczy prosty rachunek: jeśli jedna trzecia pije zero, to te 100 litrów rozkłada się na pozostałe dwie trzecie, czyli średnia wśród pijących jest już wyraźnie wyższa, a i tak nie opisuje żadnego z nich. Lekarstwem jest mediana — wartość człowieka ze środka listy, odporna na to, co dzieje się na jej końcu.

Typowy dorosły Polak wypija rocznie około 100 litrów piwa.
Jedna trzecia nie pije wcale, więc średnia nie opisuje nikogo typowego — windują ją nieliczni pijący bardzo dużo. Potrzebna jest mediana, nie średnia.

Z tej średniej nie wynika, że typowy dorosły Polak wypija tyle piwa, ile wynosi ta średnia.
Przy jednej trzeciej abstynentów średnią windują nieliczni, którzy piją bardzo dużo, więc nie opisuje ona typowego dorosłego.

Wśród Polaków, którzy w ogóle piją, średnie spożycie jest wyższe niż 100 litrów.
Skoro jedna trzecia pije zero, cała suma rozkłada się na pozostałe dwie trzecie — to wynika wprost z arytmetyki.

Polacy piją dużo piwa.
Przesłanki nie dają z czym porównać. „Dużo" wymaga punktu odniesienia, którego tu nie ma.

Mediana spożycia piwa w Polsce wynosi zero litrów.
Niepijących jest jedna trzecia, a mediana to wartość w połowie listy. Żeby mediana wyszła zero, niepijących musiałaby być co najmniej połowa.

Średnia 100 000 wyświetleń na film powstaje, gdy cały dorobek kanału, 2 100 000, podzielić po równo na 21 filmów. Tyle że ten podział wcale nie jest równy: jeden film ma 2 000 000, więc na pozostałe dwadzieścia zostaje razem 100 000, czyli średnio 5000 na film. Pierogi mają dwadzieścia razy więcej wyświetleń niż wszystkie inne filmy razem, a średnia 100 000 nie pasuje ani do niego (ma dwadzieścia razy więcej), ani do żadnego z pozostałych (mają przeciętnie dwadzieścia razy mniej). W takim rozkładzie — gdzie nieliczne wyniki są gigantyczne, a reszta niewielka — średnią ciągnie za sobą ogon. Gdyby pierogi zniknęły, średnia spadłaby z 100 000 do 5000. O tym, co jest zwykłe na tym kanale, mówi mediana, czyli film ze środka listy, a nie średnia.

Pozostałe dwadzieścia filmów ma razem dwadzieścia razy mniej wyświetleń niż film o pierogach.
Od 2 100 000 odejmujemy 2 000 000 i zostaje 100 000 na dwadzieścia filmów. Dwa miliony to dwadzieścia razy sto tysięcy. Tu pada krok: sama średnia tego nie mówi, dopiero odjęcie rekordzisty pokazuje, jak mało zostaje reszcie.

Któryś z pozostałych dwudziestu filmów ma nie więcej niż 5000 wyświetleń.
Dwadzieścia filmów ma razem 100 000, czyli średnio dokładnie 5000. Gdyby każdy miał więcej niż 5000, razem miałyby więcej niż 100 000, więc któryś musi mieć 5000 albo mniej. Ten krok wymaga podzielenia 100 000 przez 20 i zauważenia, że średnia nie może być mniejsza od wszystkich składników.

Typowy film z tego kanału o gotowaniu ma około 100 000 wyświetleń.
Pozostałe dwadzieścia filmów ma razem 100 000 wyświetleń, więc zwykły film ma ich kilka tysięcy, a nie sto tysięcy. Średnią podbija jeden gigantyczny wynik.

Średnia 100 000 wyświetleń na film jest policzona błędnie albo zawyżona.
Rachunek jest poprawny: 2 100 000 podzielone przez 21 daje dokładnie 100 000. Błąd nie siedzi w liczeniu, tylko w uznaniu tej liczby za opis zwykłego filmu.

Film o pierogach ma tyle wyświetleń, bo jest po prostu lepszy od pozostałych dwudziestu.
Możliwe, ale przesłanki nie mówią nic o jakości filmów. Taki rekord mógł powstać z wielu powodów, na przykład dlatego, że film został komuś polecony. Tego wyjaśnienia nic tu nie wyróżnia.

Przesłanki nie przesądzają, że średnia liczba wyświetleń na film przekracza 50 000.
Wynika: 2 100 000 podzielone na 21 filmów daje 100 000, a to więcej niż 50 000. Policzenie średniej nie jest tu trudne; trudne jest zrozumienie, że ta liczba nie opisuje zwykłego filmu.

Średnia 2 miliony rocznie to rachunek: łączne koszty z 50 lat, czyli 100 milionów, podzielone przez 50. Skoro w 45 latach koszt wyniósł zero, całe 100 milionów spadło na pięć lat, a to daje średnio 20 milionów na rok — dziesięć razy więcej niż „średni rok". Gmina nie płaci więc nigdy „około dwóch milionów": w większości lat nie płaci nic, a w nielicznych płaci kwotę wielokrotnie większą od średniej. To rozkład o grubym ogonie, w którym rzadkie zdarzenia mają ogromną skalę, a średnia opisuje rok, jakiego prawie nie było. Kto zaplanuje budżet na „średni rok", w czterdziestu pięciu latach zostanie z nadwyżką, a w pozostałych pięciu zabraknie mu pieniędzy.

Skoro w 45 latach koszt wyniósł zero, w pozostałych pięciu wynosił średnio 20 milionów złotych rocznie.
Najpierw łączny koszt: 50 lat po 2 miliony to 100 milionów. W 45 latach było zero, więc całość przypada na pięć lat, czyli średnio 20 milionów na rok. Wniosek wymaga dwóch rachunków, ale żadnej wiedzy spoza przesłanek.

W którymś z pozostałych pięciu lat koszt powodzi wyniósł co najmniej 20 milionów złotych.
Pięć lat ma razem 100 milionów, więc ich średnia to 20 milionów. Gdyby w każdym z tych lat koszt był mniejszy niż 20 milionów, razem wyszłoby mniej niż 100. Któryś musi więc kosztować co najmniej 20 milionów.

W typowym roku powódź kosztuje gminę Nadrzeczne około dwóch milionów złotych.
Typowy rok, czyli taki jak 45 z 50, nie kosztuje nic. Dwa miliony to wynik uśredniania zer i kilku bardzo dużych kwot, a nie opis zwykłego roku.

Powodzie nie są dla gminy poważnym kosztem i nie trzeba na nie odkładać pieniędzy.
Przez 45 lat z pięćdziesięciu powodzie nic nie kosztowały, ale rzadkość nie znaczy małości. Te kilka lat z powodzią kosztowało gminę łącznie 100 milionów, czyli średnio po 20 milionów. Gruby ogon to właśnie rzadkie zdarzenia o ogromnej skali.

Przesłanki nie przesądzają, że w ciągu tych 50 lat powodzie kosztowały gminę więcej niż 50 milionów złotych.
Wynika: 50 lat po średnio 2 miliony to 100 milionów, a to więcej niż 50. Wystarczy pomnożyć; średnia roczna jednoznacznie wyznacza sumę.

Średnia „dwie osoby na chorego" to sto zakażeń podzielone przez pięćdziesięciu chorych. Tyle że czterdziestu z nich zaraziło najwyżej po jednej osobie, czyli razem najwyżej czterdzieści. Pozostałe co najmniej sześćdziesiąt zakażeń przypada na dziesięciu chorych: średnio co najmniej sześć na osobę. Większość chorych zaraża mało, nieliczni bardzo wielu — to rozkład o grubym ogonie. Średnia 2 nie opisuje ani czterdziestu z pięćdziesięciu chorych, którzy zarazili mniej, ani tej dziesiątki, która zaraziła znacznie więcej. A to właśnie ta dziesiątka, mimo że stanowi piątą część chorych, odpowiada za co najmniej sześćdziesiąt ze stu zakażeń. Gdyby ktoś przyjął, że każdy chory zaraża dwie osoby, zupełnie nie dostrzegłby tego nierównego podziału.

Pozostałych dziesięciu z pięćdziesięciu chorych zaraziło razem co najmniej sześćdziesiąt osób.
Czterdziestu chorych zaraziło razem najwyżej czterdzieści osób, więc na pozostałych dziesięciu zostaje co najmniej sto minus czterdzieści, czyli sześćdziesiąt. To jedno odejmowanie; dopiero podzielenie przez dziesięciu dałoby średnio co najmniej sześć na osobę. Stąd „co najmniej".

Czterdziestu z pięćdziesięciu chorych zaraziło mniej osób, niż wynosi średnia dla wszystkich chorych.
Średnia to sto podzielone przez pięćdziesiąt, czyli dwie osoby na chorego. Czterdziestu zaraziło najwyżej po jednej, a jeden jest mniej niż dwa. Średnia leży więc powyżej wyniku zdecydowanej większości chorych.

Typowy chory w miasteczku zaraził w czasie epidemii około dwóch osób.
Czterdziestu z pięćdziesięciu chorych, czyli zdecydowana większość, zaraziło najwyżej po jednej osobie. Dwa to średnia ciągnięta w górę przez nielicznych, a nie wynik typowego chorego.

Każdy chory w miasteczku zaraził co najwyżej dwie osoby.
Przesłanki wykluczają ten wniosek. Czterdziestu chorych zaraziło najwyżej czterdzieści osób, więc reszta zaraziła co najmniej sześćdziesiąt i któryś z nich musiał zarazić wyraźnie więcej niż dwie.

Ci chorzy, którzy zarazili najwięcej osób, spotykali po prostu więcej ludzi niż pozostali.
Możliwe, ale przesłanki mówią tylko, ile osób zaraził każdy chory, a nie dlaczego. Równie dobrze mogli być bardziej zaraźliwi albo ich kontakty trwały dłużej. To wyjaśnienie pasuje, lecz niczego tu nie dowodzi.

Nie ma w przesłankach niczego, co przesądzałoby, że ci czterdziestu chorych zaraziło razem najwyżej czterdzieści osób.
Wynika, że nie zaraziło: czterdziestu chorych po najwyżej jednej osobie to najwyżej czterdzieści zakażeń. Przesłanka podaje górną granicę, więc udawana ostrożność jest tu nietrafiona.

Przy dziesięciu osobach i kwotach wahających się od kilkudziesięciu do kilku tysięcy złotych jeden klient, który kupił lodówkę, przesuwa całą sumę grupy o więcej niż 30%. Różnica jest więc zgodna z tym, że uśmiech działa, i równie zgodna z tym, że nie robi nic i po prostu lodówka trafiła do pierwszej dziesiątki. To nie jest ogólna reguła „mało danych źle" — rozdział podaje przeciwny przykład, w którym efekt testowania wykazano na kilkudziesięciu osobach i to wystarczyło, bo efekt był silny i rozrzut mały. Liczebność czyta się razem z dwiema rzeczami: siłą spodziewanego efektu i rozrzutem wyników. Tu rozrzut jest dziesiątki razy większy od mierzonej różnicy.

Uśmiech sprzedawcy zwiększa sprzedaż o 30%.
Przy dziesięciu klientach i kwotach od kilkudziesięciu do kilku tysięcy złotych jeden duży zakup przesuwa sumę grupy o więcej niż 30%. Ta różnica mieści się w zwykłym przypadku.

Jeden duży zakup może przesunąć sumę wydatków grupy klientów o więcej, niż wynosi zaobserwowana różnica między grupami.
Jeden klient z dużym zakupem, kilka tysięcy zamiast kilkudziesięciu złotych, przesuwa sumę dziesięciu osób o więcej niż 30%, czyli więcej, niż wynosi zmierzona różnica między grupami.

Przy takim rozrzucie kwot trzeba znacznie więcej klientów, żeby różnica cokolwiek znaczyła.
Dziesięciu klientów przy rozrzucie od kilkudziesięciu do kilku tysięcy złotych to za mało: jeden duży zakup przesuwa wynik grupy. Dopiero większa próba wyrównuje takie przypadki.

Z tego pomiaru nie wynika, że uśmiech zmienia wydatki klientów.
Dziesięciu klientów z kwotami od kilkudziesięciu do kilku tysięcy złotych nie pozwala odróżnić wpływu uśmiechu od przypadku. To jedyny uczciwy wniosek z tego pomiaru.

Na dwudziestu osobach nie da się zbadać niczego.
Za mocno. Przy silnym efekcie i małym rozrzucie kilkadziesiąt osób wystarcza — tak wykazano efekt testowania. Tu zawodzi rozrzut, nie sama liczba.

Cztery trafienia z pięciu to 80%, a dawne sześć z dziesięciu to 60%, więc różnica wygląda na dwadzieścia punktów procentowych. Tyle że przy pięciu rzutach każdy pojedynczy rzut waży dwadzieścia punktów: gdyby jeden z trafionych rzutów poleciał obok kosza, Ola miałaby dokładnie 60%, czyli to, co zawsze. Cała „poprawa” to jeden rzut. Zawodniczka, która trafia średnio sześć na dziesięć, nie trafia równo trzech w każdej piątce: raz wyjdzie jej dwa, raz cztery, a w serii pięciu rzutów takie wahania są mniej więcej tak duże jak mierzona różnica. Rozrzut wyniku jest więc tego samego rzędu co efekt i tak krótka seria nie pozwala odróżnić poprawy od zwykłego wahania. Nie znaczy to, że technika nie działa. Znaczy, że te pięć rzutów tego nie rozstrzyga; trzeba by znacznie dłuższej serii.

Nowa technika na pewno podniosła skuteczność Oli w rzutach wolnych, tak jak ogłosił trener.
Osiemdziesiąt procent to cztery trafienia z pięciu, a taki wynik nie wykracza poza wahanie, jakiego można się spodziewać po zawodniczce o średniej sześć na dziesięć. Przesłanki pokazują różnicę w tej jednej serii, ale nie pokazują, że wywołała ją technika.

Gdyby jeden z czterech trafionych rzutów był niecelny, Ola miałaby 60%, czyli tyle samo co przed zmianą.
Cztery z pięciu to 80%, ale trzy z pięciu to dokładnie 60%. Cała różnica między dawną a nową skutecznością to więc jeden rzut, i to pokazuje, jak mało waży tak krótka seria.

W następnych dziesięciu rzutach Ola trafi osiem, czyli tak często jak w ostatniej serii.
To przeniesienie wyniku z pięciu rzutów na przyszłość, jakby osiemdziesiąt procent było już jej skutecznością po zmianie techniki. Osiemdziesiąt procent z tak krótkiej serii to ledwie jeden rzut ponad dawną średnią i nie ma powodu uznawać, że taki wynik się utrzyma w następnych dziesięciu.

Przesłanki nie przesądzają, że odsetek trafień Oli w tych pięciu rzutach był wyższy niż jej dotychczasowa średnia.
Wynika, i to bez zastrzeżeń: cztery z pięciu to 80%, a dotychczasowa średnia to sześć na dziesięć, czyli 60%. Odsetek trafień w tej serii był więc wyższy. Kłopot nie w tym, że różnicy nie ma, tylko w tym, że z pięciu rzutów nie wynika jeszcze, dlaczego.

Tak dobry wynik w tak krótkiej serii mógł się Oli zdarzyć także wtedy, gdyby technika nic nie zmieniła.
Bardzo wiarygodne: zawodniczka o średniej sześć na dziesięć w krótkich seriach trafia raz mniej, raz więcej niż sześćdziesiąt procent. To jednak wiedza o tym, jak wahają się takie wyniki, a nie wprost zdanie z przesłanek, więc to dobra poszlaka, a nie pewnik.

Trzy opinie po pięć gwiazdek dają średnią 5,0, czyli najwyższą możliwą, a czterysta opinii daje 4,6. Ale średnia z trzech opinii to zdanie trzech osób: wystarczy, że czwarta da jedną gwiazdkę, a 5,0 spada do 4,0. Średnia z czterystu opinii prawie się nie rusza, bo jedna opinia to jedna czterysta pierwsza całości. Liczby 5,0 i 4,6 wyglądają więc na porównywalne, a mają zupełnie inną wiarygodność. Przy małej próbie liczy się nie tylko średnia, lecz także to, jak bardzo mogą się od siebie różnić pojedyncze wyniki, a tu rozpiętość to całe pole od jednej do pięciu gwiazdek. Nie wynika z tego, że „U Marka” jest gorsza. Wynika tylko, że trzy opinie nie pozwalają uznać jej za lepszą, a liczba opinii mówi, jak pewna jest średnia, nie jak dobra jest pizza.

Pizzeria „U Marka” ma najlepsze opinie spośród wszystkich pizzerii w całym mieście.
Średnia 5,0 pochodzi od trzech osób i waży niewiele: jedna kolejna opinia potrafi ją mocno zmienić. Dopiero średnia z czterystu jest ustabilizowana, więc porównanie 5,0 z 4,6 zestawia liczby o bardzo różnej wiarygodności i nie pozwala uznać „U Marka” za najlepszą ani nawet za lepszą od „Pod Dębem”.

Jedna dodatkowa opinia z jedną gwiazdką obniżyłaby średnią „U Marka” do czterech gwiazdek.
Trzy opinie po pięć to piętnaście gwiazdek, po dodaniu jednej gwiazdki jest szesnaście na cztery opinie, czyli dokładnie cztery. Jedna opinia zjadła całą gwiazdkę, a taka sama opinia w „Pod Dębem” zmieniłaby średnią ledwie zauważalnie, bo tam opinii jest czterysta.

Z przesłanek nie wynika, żeby „U Marka” była lepsza od „Pod Dębem”, mimo wyższej średniej.
Pięć gwiazdek z trzech opinii to zbyt mało, by ocenić lokal, a czterysta opinii „Pod Dębem” mówi o nim o wiele więcej. Wniosek nie twierdzi, że lepsza jest którakolwiek pizzeria, tylko że ta różnica żadnej z nich nie wskazuje.

Czterysta opinii „Pod Dębem” dowodzi, że jest tam lepiej niż „U Marka”.
Liczba opinii mówi, jak pewna jest średnia, a nie jak dobra jest pizza. Czterysta opinii mogłoby dać średnią 4,6, ale równie dobrze 2,0, więc samo ich mnóstwo o jakości nie przesądza.

Z przesłanek nie wynika, że czwarta opinia z pięcioma gwiazdkami utrzymałaby średnią „U Marka” na poziomie 5,0.
Wynika: trzy opinie po pięć gwiazdek to piętnaście gwiazdek, a czwarta z pięcioma daje dwadzieścia gwiazdek na cztery opinie, czyli nadal średnio pięć. To da się policzyć bez żadnego zgadywania, więc ostrożność jest tu udawana.

Gdyby „U Marka” miała czterysta opinii, jej średnia najpewniej byłaby niższa niż 5,0.
Bardzo prawdopodobne: przy czterystu opiniach trudno, żeby nikt nie dał mniej niż pięć gwiazdek. Ale to przewidywanie oparte na wiedzy o ludziach i opiniach, a nie na tym, co mówią przesłanki, więc to dobra poszlaka, a nie wniosek.

„Wzrost trzykrotny” brzmi dramatycznie, ale to jedno dziecko w zeszłym roku i troje w tym. Gdy liczby są tak małe, wystarczy dwoje dzieci więcej, żeby wzrost wyszedł na dwieście procent, i wystarczy jedno dziecko mniej, żeby zmalał o połowę. Rzadkie zdarzenia z natury skaczą z roku na rok: nawet gdy niebezpieczeństwo się nie zmienia, jeden rok przynosi jedno potrącenie, a następny trzy albo żadne. Przy wielu latach liczonych razem takie skoki się wygładzają, ale dwa lata i cztery zdarzenia tego nie zapewniają. Przesłanki wykluczają co prawda najprostsze inne wyjaśnienie, czyli więcej dzieci albo większy ruch, ale nie rozstrzygają między prawdziwym pogorszeniem a zwykłą zmiennością. To nie znaczy, że przejście jest bezpieczne ani że radny na pewno się myli; znaczy, że z tak małych liczb nie da się tego odczytać.

Przejście przy szkole jest dziś trzy razy bardziej niebezpieczne niż rok temu.
Z jednego potrącenia do trzech to różnica dwojga dzieci. W tak rzadkich zdarzeniach liczba skacze z roku na rok nawet wtedy, gdy niebezpieczeństwo się nie zmienia, więc „trzy razy” opisuje zmianę liczby, a nie zmianę niebezpieczeństwa.

Gdyby w tym roku potrącono dwoje dzieci zamiast trojga, wzrost wyniósłby sto procent, a nie dwieście.
Z jednego potrącenia do dwóch to wzrost o sto procent, z jednego do trzech to wzrost o dwieście. Jedno dziecko w tę czy w tamtą stronę zmienia „podwojenie” w „potrojenie”, co pokazuje, jak niestabilna jest procentowa zmiana liczona od tak małej liczby.

Cztery potrącenia w ciągu dwóch lat to za mało zdarzeń, by wskazać, skąd wzięła się zmiana ich liczby.
Jedno potrącenie rok temu i troje w tym roku dają razem cztery zdarzenia, a to zbyt mało, by odróżnić zmianę niebezpieczeństwa od zwykłej zmienności. Wniosek mówi tylko, że dane nie pozwalają wskazać przyczyny zmiany, i nie twierdzi, że przejście jest bezpieczne.

Potrąceń było więcej, bo do szkoły chodzi teraz więcej dzieci.
Przesłanki mówią coś przeciwnego: do szkoły chodzi tyle samo dzieci co rok temu. To wyjaśnienie odpada, ale nie znaczy to, że zostaje tylko prawdziwe pogorszenie bezpieczeństwa; zostaje także zwykła zmienność liczb.

Przesłanki nie przesądzają, że w tym roku potrącono więcej niż dwa razy tyle dzieci co w zeszłym.
Wynika z rachunku: dwa razy tyle co jedno dziecko to dwoje, a potrącono troje, czyli więcej. Liczba rzeczywiście wzrosła, sporna jest dopiero interpretacja tego wzrostu, więc „nie przesądzają” jest tu udawaną ostrożnością.

To, że w tym roku potrącono troje dzieci, a w zeszłym jedno, wzięło się z samego przypadku, a nie z żadnej zmiany na przejściu.
Zwykła zmienność rzadkich zdarzeń to bardzo wiarygodne wyjaśnienie tej różnicy. Przesłanki jednak nie rozstrzygają, że tak właśnie było: nie wykluczają, że przejście naprawdę stało się groźniejsze z innego powodu, więc to dobra poszlaka, a nie wniosek.

Czworo z sześciorga to dwie trzecie, ale sześcioro uczniów to jedna piąta klasy i nauczycielka nic nie wie o pozostałych dwudziestu czworgu. Gdyby wszyscy oni nie chcieli jechać, chętnych w klasie byłoby tylko czworo z trzydziestu; gdyby wszyscy chcieli, byłoby ich dwadzieścioro ośmioro, bo dwoje wylosowanych odmówiło. Przy tak małej próbie wynik losowania zostawia więc ogromne pole możliwości, od niewielkiej mniejszości po zdecydowaną większość. Losowanie robi swoje, bo wynik nie jest przekrzywiony z góry, ale sześć odpowiedzi to za mało, żeby z nich wyczytać, po której stronie połowy leży klasa. Dopiero odpowiedzi od większości klasy, albo pytanie wszystkich, zawęziłyby ten przedział do czegoś, na czym można oprzeć decyzję.

Nawet przy tych odpowiedziach w całej klasie chętnych do Krakowa może być mniej niż połowa.
O dwudziestu czworgu uczniach nauczycielka nic nie wie. Gdyby żaden z nich nie chciał jechać, chętnych byłoby tylko czworo z trzydziestu, czyli znacznie mniej niż połowa. Wniosek nie twierdzi, że tak jest, tylko że przesłanki tego nie wykluczają.

W całej klasie chętnych do Krakowa jest co najmniej 4 i najwyżej 28 uczniów.
Cztery chętne osoby są pewne, bo tyle odpowiedziało „tak”. Dwie odmówiły, więc w klasie jest najwyżej trzydzieści minus dwie, czyli dwadzieścia osiem chętnych. Rozstęp od 4 do 28 pokazuje, jak mało mówi próba złożona z sześciorga uczniów.

Dwie trzecie uczniów klasy 6b chce jechać na wycieczkę do Krakowa.
Cztery z sześciu to dwie trzecie wylosowanych, a nie dwie trzecie klasy. Zapytano jedną piątą uczniów, więc ułamek z tak małej próby może się od ułamka w całej klasie bardzo różnić.

Gdyby w całej klasie większość chciała jechać do Krakowa, to w każdej wylosowanej szóstce większość też by tego chciała.
Przesłanka idzie od sześciorga uczniów do klasy, a to zdanie wraca od klasy do sześciorga i twierdzi, że każda losowa szóstka odzwierciedla większość. Mała losowa próba może trafić nietypowo (w tej szóstce chcą czworo, ale w innej mogłoby chcieć dwoje), więc „w każdej” jest za mocne.

Z przesłanek nie wynika, ilu uczniów klasy 6b nauczycielka nie zapytała.
Wynika: w klasie jest trzydzieścioro uczniów, a zapytano sześcioro, więc dwudziestu czworga nauczycielka nie zapytała. To jedno odejmowanie, a udawane „nie wynika” odbiera mu wartość.

Studenci amerykańskich uczelni są najłatwiej dostępną grupą badanych na świecie i jednocześnie jedną z najmniej typowych: młodzi, zamożni, z kultury indywidualistycznej, wyszkoleni w myśleniu abstrakcyjnym i często świadomi, jak wyglądają eksperymenty psychologiczne. Gdy ten sam eksperyment powtarzano poza kampusem — w innych krajach, w społecznościach o innej kulturze, u osób starszych — spora część efektów okazywała się słabsza albo nie pojawiała się wcale. Wniosek „tak działa ludzki umysł" nie jest więc tylko za mocny; mówi o innej populacji niż ta, którą zmierzono. Tę samą pułapkę zastawia na siebie każda firma, która bada użytkowników w jednym kraju i mówi „tak wolą użytkownicy".

Ten efekt poznawczy jest cechą ludzkiego umysłu w ogóle.
Badano młodych, zamożnych studentów psychologii z jednego kraju, a wniosek jest o wszystkich ludziach. To dwie różne populacje.

Z tego badania nie wynika, że efekt wystąpi u ludzi spoza badanej grupy.
Badano młodych, zamożnych studentów psychologii z jednego kraju i jednego kierunku. O ludziach spoza tej grupy badanie niczego nie rozstrzyga.

Badana grupa różni się od ogółu ludzi wiekiem, zamożnością, krajem i kierunkiem studiów.
Przesłanki podają cztery cechy badanej grupy — wiek 19–22 lata, zamożne rodziny, jeden kraj, jeden kierunek — i każda z nich wyróżnia ją spośród ludzi w ogóle. To opis tego, po czym wynik może się nie przenosić.

Nie ma w przesłankach niczego, co pozwalałoby sądzić, że wszyscy badani byli młodsi niż trzydzieści lat.
Jest: badani mieli od 19 do 22 lat, więc wszyscy byli młodsi niż trzydzieści. Wystarczy porównać — kłopot zaczyna się dopiero przy przenoszeniu wyniku na ludzi w każdym wieku.

U polskich studentów ten efekt wystąpi tak samo.
To przeniesienie na kolejną grupę, której nie badano. Węższe niż „wszyscy ludzie", ale wciąż poza danymi.

Dwa tysiące badanych to bardzo dużo, więc wynik jest wiarygodny, ale dotyczy tych, których zbadano: mężczyzn w wieku od 40 do 60 lat. W badaniu nie było ani jednej kobiety i ani jednej osoby po siedemdziesiątce, czyli dokładnie tych grup, którym producent chce lek polecać. Organizm kobiety i organizm osoby starszej mogą na lek reagować podobnie, mocniej, słabiej albo wcale. Badanie tego nie sprawdziło, więc nie ma podstaw, by wskazywać którąkolwiek z tych możliwości. Nie jest to zarzut wobec samego leku ani wobec liczby badanych: jest to granica tego, co wynik opisuje. Rozszerzenie na wszystkich wymaga albo badania obejmującego te grupy, albo osobnego powodu, by sądzić, że działają tak samo. Takim samym błędem jest wniosek „u starszych zadziała słabiej”, bo i on jest zgadywaniem bez danych.

Lek obniża ciśnienie o około 12 jednostek u każdego, komu zostanie przepisany.
Wynik dotyczy mężczyzn w wieku od 40 do 60 lat. Kobiet i osób starszych w badaniu nie było, więc „u każdego” wykracza daleko poza zbadaną grupę.

Wśród dwóch tysięcy badanych nie było nikogo z grup, którym producent chce lek polecać.
Badani to mężczyźni w wieku od 40 do 60 lat, więc wśród nich nie ma kobiet, a nikt nie przekracza sześćdziesiątki. Trzecia przesłanka wskazuje właśnie te grupy, które w badaniu nie wystąpiły: to luka w próbie, a nie zarzut wobec samego leku.

To badanie nie pokazuje, jak lek działa u kobiet ani u osób starszych, którym producent chce go polecać.
Skoro w badaniu nie było tych grup, jego wynik niczego o nich nie dowodzi, ani na plus, ani na minus. Wniosek nie mówi, że lek u kobiet nie działa; mówi, że to badanie tego nie sprawdziło.

U osób starszych, których nie było w badaniu, lek zadziała słabiej niż u badanych mężczyzn.
To zgadywanie w konkretną stronę: efekt równie dobrze mógłby być taki sam albo większy. Badanie nie zawiera nikogo po siedemdziesiątce, więc nie ma podstaw, by wskazywać kierunek różnicy.

Z przesłanek nie wynika, że wśród badanych nie było nikogo młodszego niż 40 lat.
Wynika z pierwszej przesłanki: badani mężczyźni mieli od 40 do 60 lat, więc młodszych niż 40 w badaniu nie było. Wynik u zbadanych mężczyzn nie jest sporny, ograniczony jest tylko jego zasięg, także w dół, do młodszych.

Kobiety i osoby starsze reagują na lek inaczej niż mężczyźni w średnim wieku.
Nikt z tych grup nie był badany, więc nie wiemy, jak reagują. Równie dobrze mogą reagować tak samo; wiemy tylko, że ich nie sprawdzono, a to zdanie głosi różnicę jako fakt.

Zawodowi biegacze to jedna z najbardziej nietypowych grup, jakie można zbadać: trenują ponad dziesięć razy więcej niż przeciętny dorosły, są młodzi i startują z poziomu, o jakim większość ludzi może tylko marzyć. Jeśli wytrzymałość takich ludzi wzrosła o sześć procent, nie znaczy to, że zwykły człowiek zyska tyle samo. Ktoś, kto prawie się nie rusza, może zyskać więcej, może mniej, a może mieć inne ryzyko, bo badanie nie obejmowało nikogo takiego. Nie chodzi o to, że wynik jest zły: u trzydziestu zbadanych biegaczy wytrzymałość wzrosła średnio o 6%. Chodzi o to, że wniosek o „każdym z nas” opiera się na grupie, która z „każdym z nas” ma niewiele wspólnego. Tak samo błędny jest wniosek odwrotny, że trening działa tylko u zawodowców: tego badanie też nie sprawdziło.

Trening interwałowy poprawia wytrzymałość każdego dorosłego o około 6%.
Badano zawodowych biegaczy, którzy trenują wiele godzin tygodniowo. „Każdy dorosły” obejmuje ludzi o zupełnie innej wyjściowej sprawności, a badanie nie sprawdziło nikogo takiego.

Badani biegacze ćwiczyli co najmniej dziesięć razy więcej niż przeciętny dorosły Polak.
Dwadzieścia godzin lub więcej, podzielone przez mniej niż dwie, daje ponad dziesięć razy więcej. To pokazuje, że badani to grupa skrajna pod względem treningu, a nie wzorzec przeciętnego dorosłego.

Badanie nie pokazuje, jak trening interwałowy działa na osoby, które na co dzień prawie się nie ruszają.
Wszyscy badani trenowali co najmniej dwadzieścia godzin tygodniowo, więc nikt z nich nie reprezentuje osób prawie się nie ruszających. Wniosek nie twierdzi, że trening u nich nie działa, tylko że to badanie tego nie pokazuje.

Trening interwałowy poprawia wytrzymałość wyłącznie zawodowych sportowców.
Badanie sprawdziło tylko zawodowców, więc nie pokazało, że u innych trening nie działa. To zdanie zamienia „sprawdzono tylko tutaj” na „działa tylko tutaj”, a brak sprawdzenia nie jest dowodem braku efektu.

Przesłanki nie przesądzają, że każdy z badanych biegaczy trenował więcej niż piętnaście godzin tygodniowo.
Wynika z drugiej przesłanki: każdy badany trenował od lat co najmniej dwadzieścia godzin tygodniowo, a dwadzieścia to więcej niż piętnaście. Wystarczy porównać dwie liczby; spory jest tylko zasięg wyniku, nie to, jak mocno badani trenowali.

Ludzie trenujący bardzo dużo mają mniej miejsca na poprawę, więc u mniej wytrenowanych wzrost mógłby być większy.
Wiarygodne, bo ktoś na szczycie formy ma mniej do zyskania. Ale w badaniu nie było nikogo mniej wytrenowanego, więc to przewidywanie oparte na wiedzy o treningu, a nie wniosek z przesłanek. To dobra poszlaka, nie dowód.